11 特殊值法——教师版.docx

第11讲特殊值法

一、方法技巧

特殊值法

（一）定义

又叫特值法，即通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．
这个特殊值必须满足无论这个量的值是多少，对最终结果所要求的量的值没有影响；

（二）使用条件

有些选择题或填空题，用常规方法求解比较困难，若根据已知或答案所提供信息，选择某些特殊值进行分析或计算，把一般形式变为特殊形式，再进行判断往往比较简单．

（三）专题目标

通过训练，能迅速作出判断并能用特殊值法解决问题．

（四）解题思路

1．一定要按照题目所给的具体条件取值
2．所取的数值一般最大不超过，最小不超过这样的整数，例如、、最常用
3．将所取的特殊值代入题干直接判断或逐一代入题支判断即可得出正确答案

（四）应用类型

类型一已知中具体数量关系较少的问题
类型二化简与求值的问题
类型三恒等式问题
类型四解以“不论为何值时”为条件的问题
类型五验证结论的正确性的问题
类型六比较大小的问题
类型七几何问题

二、应用举例

类型一已知中具体数量关系较少的问题

【例题1】有两只相同的大桶和一只空杯子，甲桶装牛奶，乙桶装糖水．先从甲桶内取出一杯牛奶倒入乙桶，再从乙桶中取出一杯糖水和牛奶的混合液倒入甲桶．请问此时甲桶内糖水多还是乙桶内的牛奶多？
A．甲桶多B．乙桶多C．一样多D．无法判断
【答案】C
【解析】
题干全部为文字叙述，没有具体数据，可采用特值法．
解：令甲桶牛奶量=乙桶牛奶量=，空杯子体积为，
第一次取一杯牛奶即将甲桶牛奶全部倒入乙桶，充分混合，
此时乙桶内牛奶和糖水的比例为：，乙桶有，甲桶，
又从乙桶取一杯混合液倒入甲桶，此时甲桶溶液量=乙桶溶液量=，且牛奶和糖水各占一半．即甲桶内糖水=乙桶内糖水．故选C．
【难度】一般

类型二化简与求值的问题
【例题2】已知、满足，则．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
满足题干条件的、的数据很多，但结果是唯一的，所以可以对、特殊化，令，则，故选择B．
【难度】一般

类型三恒等式问题

【例题3】若实数、、满足，则下列式子一定成立的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
本题三个未知数，一个方程，如果不用特值法很难解答．
取特殊值：，，，满足，
A．,
B．
C．
D．
故选择D．
【难度】一般

类型四解以“不论为何值时”为条件的问题

【例题4】不论参数取什么值，直线总通过一个定点，这个定点坐标为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由条件“不论参数取什么值”，可知的取值不影响直线通过定点，故简单的方法是将选项直接代入来验证．
将选项代入直线，可以看出只有C选项代入时恒等成立，故选C．
【难度】容易

类型五验证结论的正确性的问题

【例题5】已知有理数、满足，则下列式子正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由有理数、满足，
取，，那么
A：，成立，B：，成立，C：，成立，D：，不成立，故排除D．
取，，那么
A：，不成立，B：，不成立，C：，成立，故选C．
点评：特殊值法将抽象的字母换成形象的数字，使解题更为方便．
【难度】一般

类型六比较大小的问题

【例题6】当，与的大小关系为（）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【解析】
因为，取，则，因，故，故选B．
【难度】较易

类型七几何问题

【例题7】如图，过轴上任意一点，作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点．若为轴上任意一点，连接、，则的面积为．

【答案】
【解析】
因为为轴上任意一点且为轴上任意一点，本题为填空题，故选择特殊值法比较适合．
解：令，，则，，
即，
∴
【难度】较易

三、实战演练

类型一已知中具体数量关系较少的问题

1．一个圆柱的半径比原来的圆柱的半径多倍，高是原来的，则这个圆柱的体积是原来圆柱体积的（）
A．一样多B．倍C．倍D．倍
【答案】D
【解析】
此题若不用特殊值法解答，势必要去寻找两者的数量关系，而这个数量关系还要靠字母来体现，若用特殊值法，数量关系明了，能轻松顺利的解答．
解：令原来的圆柱半径是,高是，则体积是
新圆柱半径是,高是，则体积是
则这个圆柱的体积是原来的倍，故选D．
【难度】一般

2．老王前几年投资的一套艺术品市价上涨了，为尽快出手，老王将该艺术品按市价的八折出售，扣除成交价的交易费后，发现与买进时相比赚了万元．问老王买进该艺术品花了多少元？
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
本题是选择题，已知的数量关系是百分数，因此把购入价格看作比较快捷、准确的解答此题．
解：令该艺术品两年前价格为
则现在市价为
八折售价为
交易费用为
实际售价为
利润为
因实际赚了万元，则，故购买价格为万元．选择D．
点评:本题若列方程，可设买进价格为万元，则，求解容易出错