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充分条件和必要条件
充分、必要条件是重要的数学概念，它主要讨论命题的条件和结论之间的关系，是理解、掌握一个命题的题设和结论关系以及一个命题与其它命题之间关系的重要工具。
准确理解充分、必要条件
原定义：如果命题，那么说是的充分条件，是的必要条件。
定义表明了在了就一定有，即“能充分保证成立，故称是的充分条件”；
又“”，即没有没有，或者说“要有就必须有”，所以是的必要条件。
对充分、必要条件定义反思，可得如下引申定义：若，则是的不充分条件，是的不必要条件。
引申定义弥补了原定义在逻辑关系上的不完整性，引出充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件和既不充分也不必要条件等四种条件概念。因此，回答“是的什么条件”应有六种答案选择。
例1设是的充分不必要条件，是的充要条件，S是的必要不充分条件，则S是的什么条件？
解：依题意，得如下逻辑关系图：

∴S是有必要不充分条件。
正确应用充分、必要条件的传递性
充分、必要条件具有传递性，即由得。应用时需注意“传递链”不能间断，“传递链”间断的地方，往往是充分性不能确定或者是必要性不能确定。
例2设A是C的充分而不必要条件，B是C的充要条件，D是C的必要而不充分条件，D是B的充分条件，则A是B的什么条件？
解：本题的逻辑关系图如下：

D

从ACDB或者从ACB都说明A是B的充分条件
又由BCA确定A是B的不必要条件。
∴A是B的充分不必要条件
利用集合判断充分、必要条件
充分、必要条件也可以从集合的包含关系的角度来理解它们之间的对应关系，设满足条件、的对象组成的集合依次是P、Q，则：
(1)是的充分条件PQ，是的充分而不必要条件PQ
(2)是的必要条件QP，是的必要而不充分条件QP
(3)是的充要条件P=Q
(4)若上述三种关系均不成立，则与互为既不充分也不必要条件
例3已知：(－4)(+1)≥0，：≥0，则是的什么条件？
解：由已知得P={|≤－1或≥4}，Q={|<－1或≥4}
则QP
∴是的必要不充分条件。
等价命题在解充分、必要条件问题中的作用
用来判断充分、必要条件的等价命题有：(逆否命题)
(1)
(2)
运用时的思路是：“正难则反”，关键是怎样由得到(或由得到)，注意条件(或命题)中隐含什么条件？不能盲目地认为：等于的否定就是不等式，大于的否定就是不大于。
例4已知：|2+5|≥11，：>0，则是的什么条件？
解：由易得：－8<<3，再由中++1>0恒成立
∴：>0+5－24>0，解得<－8或>3
∴：－8≤≤3
故是的必要不充分条件。
其它解释：
用四种命题解释：
若为条件，为结论，由此构造一个命题：若则，则
如果原命题成立，逆命题不成立，则原命题的条件是充分非必要的。
如果原命题不成立，逆命题成立，则原命题的条件是必要非充分的。
如果原命题和逆命题都成立，则原命题的条件是充要的。
如果原命题和逆命题都不成立，则原命题的条件是非充分非必要的。
用“”、“”、“”解释
主要体现在四个字上：“头必尾充”上，此种解释显得直观、简洁，在实际的解题中是采用最为广泛的一种。
若，且，则是的充分而非必要条件，是的必要非充分条件。
若，且，则是的充分而非必要条件，是的必要非充分条件。
若，且，则是的充要条件，也是的充要条件。
若，且，则是的既不充分也不必要条件。
用汉语解释
充分条件：有之必然，无之未必然、。(有它一定行，无它未必不行)
必要条件：无之必不然，有之未必然。(无它一定不行，有它也未必行)
充要条件：有之必然，无之必不然。(有它一定行，无它一定不行)
重视充要条件的学习
学习充要条件的内容有：(1)会判断；(2)会证明；(3)会求。
教材中，没有给出“会求”的练习题，求使命题成立的充要条件的主要方法是：先探求使命题成立所必备的必要条件，然后说明这一条件也是充分的。在探求过程中，注意对参数进行分类讨论。
例5设A={|－2≤≤}，B={|=2+3，A}，M＝｛|＝，A｝，则MB的充要条件是什么？
解：∵A＝{|－2≤≤}，M＝｛|＝，A｝
∴B＝{|＝2＋3，A｝＝｛|－1≤≤2＋3｝
当－2≤≤0时，M＝{|≤≤4}
当0<≤2时，M={|0≤≤4}
当>2时，M={|0≤≤}
∴当－2≤≤2时，要使MB4≤2+3即≤≤2
当>2时，要使MB≤2+3即2<≤3
综上得，所求充要条件是≤≤3。
例6已知抛物线C：＝－＋－1和点A(3，0)，B(0,3)，求抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件。
解：必要性由已知得，线段AB的直线方程是=－+3(0≤≤3)
由于抛物线C与线段AB有两个不同交点
∴方程组……①有两个不同的实数解
消去得－(+1)+4=0(0≤≤3)
设=－(+1)+4，则有
，得3<≤
充分性当3<≤时，有

∴方程－(+1)+4=0有两个不等的实根