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第2章时域离散信号和系统的频域分析

卢光跃教授
第2章时域离散信号和系统的频域分析

2.1引言
2.2序列的傅里叶变换的定义及性质
2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式
2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟
信号傅里叶变换之间的关系
2.5序列的Z变换
2.6利用Z变换分析信号和系统的频域特性
2.1引言

我们知道信号和系统的分析方法有两种，即时域
分析方法和频率分析方法。
在模拟领域中，信号一般用连续变量时间t的函数表
示，系统则用微分方程描述。为了在频率域进行分
析，用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换
到频率域。
而在时域离散信号和系统中，信号用序列表示，其
自变量仅取整数，非整数时无定义，而系统则用差分
方程描述。
而频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学工
具。其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换
（DTFT），它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的，
但都是线性变换，很多性质是类似的。
本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变
换分析系统和信号频域特性。本章学习内容是本书也
是数字信号处理这一领域的基础。
2.2序列的傅里叶变换的定义及性质

2.2.1序列傅里叶变换的定义

定义∞
Xe()jω=∑xne()−jnω(2.2.1)
n=−∞
为序列x(n)的傅里叶变换，可以用FT(Fourier
Transform)缩写字母表示。FT成立的充分必要条件是
序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：
∞
∑xn()<∞(2.2.2)
n=−∞
为求FT的反变换，用ejωn乘(2.2.1)式两边，并在
-π~π内对ω进行积分，得到

ππ∞
X()eedjjmωωω=[xneed()]−jnjnωωω
∫∫−−ππ∑
n=−∞

∞∞
=xn()ejmnω()−dω
∑∫−∞
n=−∞
π
jmnω()−
式中edωπδ=−2(nm)(2.2.3)
∫−π
π
1jjmωω
因此xn()=X(e)edω(2.2.4)
2π∫−π
上式即是FT的逆变换。(2.2.1)和(2.2.4)式组成一对
傅里叶变换公式。(2.2.2)式是FT存在的充分必要条
件，如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，例
如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示
出来，这部分内容在下面介绍。
例2.2.1设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT

解
：∞−N1
jjωωω−−njn
Xe()==∑∑RN()nee
nn=−∞=0
1()−−eeejNωωjN/2−jNω/2ejNω/2
==
1()−−eeee−−jjNjjωωωω/2/2−/2

−−jN(1)/2ωsin(ωN/2)
=e(2.2.5)
sinω/2
设N=4，幅度与相位随ω变化曲线如图2.2.1所示。
图2.2.1R4(n)的幅度与相位曲线
2.2.2序列傅里叶变换的性质
1.FT的周期性
在定义(2.2.1)式中，n取整数，因此下式成立

∞
Xe()jωω=∑xne()−+jMn(2π),M为整数(2.2.6)
n=−∞
因此序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期
是2π。这样X(ejω)可以展成傅里叶级数，其实(2.2.1)式
已经是傅里叶级数的形式，x(n)是其系数。
cosωncosωn

ω=2πMω(=2M+1π)
11
…………
nn－1135
－1012340246

(a)(b)

图2.2.2cosωn的波形
2.线性

设jjωω
X1122()e==FT[()],()xnXeFT[()],xn那么
jjωω(2.2.7)
FT[()ax12n+=bx()]()naX1e+bX2()e
式中a,b为常数
3.时移与频移
设X(ejω)=FT［x(n)］，那么

−jnω0jω(2.2.8)
FT[(xn−=n0)]eX(e)
jnωωj(−ω
FT[()]()e00xn=Xe(2.2.9)
4.FT的对称性
在学习FT的对称性以前，先介绍什么是共轭对称

与共轭反对称以及它们的性质。设序列xe(n)满足下
式：

xe(n)=x*e(-n)(2.2.10)

则称xe(n)为共轭对称序列。为研究共轭对称序列

具有什么性质，将xe(n)用其实部与虚部表示

xe(n)=xer(n)+jxei(n)
将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到

x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)
对比上面两公式，左边相等，因此得到

xer(n)=xer(-n)(2.2.11)

xei(n)=-xei(-n)(2.2.12)
由上面两式得到共轭对称序列其实部是偶函数，
而虚部是奇函数。类似地，可定义满足下式的称共轭
反对称序列

xo(n)=-xo*(-n)(2.2.13)
将xo(