第2章 时域离散信号和系统的频域分析.ppt

第2章时域离散信号和系统的频域分析2.1引言频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学工具。其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换，它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的，但都是线性变换，很多性质是类似的。
本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。2.2序列的傅里叶变换的定义及性质为求FT的反变换，用ejωn乘(2.2.1)式两边，并在
-π~π内对ω进行积分，得到
上式即是FT的逆变换。(2.2.1)和(2.2.4)式组成一对傅里叶变换公式。(2.2.2)式是FT存在的充分必要条件，如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，例如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来，这部分内容在下面介绍。例2.2.1设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT图2.2.1R4(n)的幅度与相位曲线2.2.2序列傅里叶变换的性质
1.FT的周期性
在定义(2.2.1)式中，n取整数，因此下式成立图2.2.2cosωn的波形2.线性4.FT的对称性
在学习FT的对称性以前，先介绍什么是共轭对称与共轭反对称以及它们的性质。设序列xe(n)满足下式：
xe(n)=x*e(-n)(2.2.10)
则称xe(n)为共轭对称序列。为研究共轭对称序列具有什么性质，将xe(n)用其实部与虚部表示
xe(n)=xer(n)+jxei(n)
将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到
x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)

对比上面两公式，左边相等，因此得到
xer(n)=xer(-n)(2.2.11)
xei(n)=-xei(-n)(2.2.12)
由上面两式得到共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。类似地，可定义满足下式的称共轭反对称序列
xo(n)=-x*o(-n)(2.2.13)
将x0(n)表示成实部与虚部如下式：
xo(n)=xor(n)+jxoi(n)
可以得到
xor(n)=-xor(-n)(2.2.14)
xoi(n)-xoi(-n)(2.2.15)
即共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。
例2.2.2试分析x(n)=ejωn的对称性
解：
将x(n)的n用-n代替，再取共轭得到：
x*(-n)=ejωn
因此x(n)=x*(-n)，满足(2.2.10)式，x(n)是共轭对称序列，如展成实部与虚部，得到
x(n)=cosωn+jsinωn
由上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即
x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.16)
式中xe(n),xo(n)可以分别用原序列x(n)求出，将(2.2.16)式中的n用-n代替，再取共轭得到
x*(-n)=xe(n)-xo(n)(2.2.17)
利用(2.2.16)和(2.2.17)两式，得到

利用上面两式，可以分别求出xe(n)和xo(n)。
对于频域函数X(ejω)也有和上面类似的概念和结论：
X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)(2.2.10)
式中Xe(ejω)与Xo(ejω)分别称为共轭对称部分和共轭反对称部分，它们满足
Xe(ejω)=X*e(e-jω)(2.2.21)
Xo(ejω)=-X*o(e-jω)(2.2.22)
同样有下面公式满足：(a)将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)
x(n)=xr(n)+jxi(n)
将上式进行FT，得到
X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)
上面两式中，xr(n)和xi(n)都是实数序列，容易证明Xe(ejω)满足(2.2.21)式，个有共轭对称性，它的实部是偶函数，虚部是奇函数。Xo(ejω)满足(2.2.22)式，具有共轭反对称性质，其实部是奇函数，虚部是偶函数。最后得到结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对称的FT具有共轭对称性，虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。
(b)将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即
x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.25)
将(2.2.18)式和(2.2.19)式重定如下：
将上面两式分别进行FT，得到
FT［xe(n)］=1/2［X(ejω)+X*(ejω)］=Re［X(ejω)］=XR(ejω)
FT［xo(n)］=1/2［X(ejω)-X*(ejω)］=jIm［X(ejω)］=jXI(ejω)
因此对(2.2.25)式进行FT得到：
X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)(2.2.26)
因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分He(ejω)，共轭反对称部分为零。
H(ejω)=He(ejω)
H(ejω)=H*(e-jω)
因此实序列的FT的实部是偶函数，虚部是奇