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构造法证明不等式5

第一篇：构造法证明不等式5构造法证明不等式（2）（以下的构造方法要求过高，即使不会也可以，如果没有时间就不用看了）在学习过程中，常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，多种常用证法一一尝试，均难以凑效。这时不妨变换一下思维角度，从不等式的结构和特点出发，构造一个与不等式相关的数学模型，实现问题的转化，从而使不等式得到证明。一、构造向量证明不等式（不会也可以）例1：证明x2(9x2)9，并指出等号成立的条件。证明：不等式左边可看成坐标表示，将左边看成向量a=(与x和与x2两两乘积的和，从而联想到数量积的,)与b=(x,9x2)的数量积，7x2(9x2)()2(2)2x2(9x2)9又ab|a||b|，所以x9x2当且仅当ba,(0)时等号成立，故由解得：x=,λ=1，即x=时，等号成立。2（1－y)例2：求证：1(xy3)2(2xy6)26证明：不等式左边的特点，使我们容易联想到空间向量模的坐标表示，将左边看成a(1y,xy3,2xy6)模的平方，又ab|a||b|，为使ab为常数，根据待定系数法又可构造b(1,2,1)。于是|a|·|b|=(1y)2(xy3)2(2xy6)26a·b＝（1－y)·1＋(xy3)·2(2xy6（）·1）1所以(1y)2(xy3)2(2xy6)212（1－y)即1(xy3)2(2xy6)26x2(1y)2(1x)2y21x)2(1y)22二、构造复数证明不等式（这种方法不作要求，如果有兴趣了解一下就可以了）22例3、求证：xy证明：从不等式左边的结构特点容易联想到复数的模，将左边看成复数Z1=x+yi,Z2=x+（1－y）i，Z3=1－x+yi，Z4=1－x+（1－y）i模的和，又注意到Z1＋Z2＋Z3＋Z4＝2＋2i，于是由z1＋z2＋z3＋z4≥z1z2z3z4可得：x2y2x2(1y)2(1x)2y2(1x)2(1y)222222注：此题也可构造向量来证明。三、构造几何图形证明不等式例4：已知：a>0、b>0、c>0,求证：a2abb2b2bcc2a2acc2，当且仅当111时取等号。bac证明：从三个根式的结构特点容易联想到余弦定理，于是可构造如下图形，使OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB=∠BOC=60°如图（1），则∠AOC＝120°，AB=图（1）a2abb2，BC=b2bcc2,AC=a2acc2由几何知识可知：AB＋BC≥AC，∴a2abb2+b2bcc2≥a2acc2当且仅当A、B、C三点共线时等号成立，此时有111absin60bcsin60acsin120222ab+bc=ac故当且仅当，即111时取等号。bac四、构造椭圆证明不等式例5：求证：证明：4249x22x3349x2的结构特点，使我们联想到椭圆方程及数形结合思想。x2y212于是令y49x(y0)，则其图象是椭圆的上半部分，49设y-2x=m，于是只需证42,m33因m为直线y=2x＋m在y轴上的截距，由图（2）可知：当直线y=2x＋m过点（24，0）时，m有最小值为m=；33当直线y=2x＋m与椭圆上半部分相切时，m有最大值。由y2xm22得：13x+4mx+m–4=0229xy4令△=4（52－9m2）=0得：m22或m（去）33即m的最大值为424，故m，即49x22x33333五、构造方程证明不等式例6：设a1、a2、…an为任意正数，证明对任意正整数n不等式(a1+a2+…+an)2≤n(a12+a22+…+an2)均成立证明：原不等式即为4(a1+a2+…+an)2－4n(a12+a22+…+an2)≤0由此联想到根的判别式而构造一元二次方程：(a12+a22+…+an2)x2+2(a1+a2+…+an)x+n=0（＊）因方程左边＝(a1x+1)2+(a2x+1)2+…＋(anx+1)2≥0当a1、a2、…an不全相等时，a1x+1、a2x+1、…anx+1至少有一个不为0，方程（＊）左边恒为正数，方程（＊）显然无解。当a1＝a2＝…＝an时，方程（＊）有唯一解x＝1a1故△＝4(a1+a2+…+an)2－4n(a12+a22+…+an2)≤0即(a1+a2+…+an)2≤n(a12+a22+…+an2)对任意正整数n均成立六、构造数列证明不等式例7：求证：Cn1+Cn2+…+Cnn>n2nn-12图（2）12n证明：不等式左边为2－1=从而联想到等