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构造法证明等差

第一篇：构造法证明等差构造法证明等差、等比数列等差、等比数列的判定与证明【例2】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：an－2SnSn－1＝0(n≥2，n∈11N＋，Sn≠0)，a1＝2，判断S与{an}是否为等差数列，并说明你的理由．n[审题导引]因为已知关系式中包含an，Sn，Sn－1，所以应根据an与Sn的关系式：an＝Sn－Sn－1(n≥2)将已知条件转化为关于Sn与Sn－1之间的关系，从而判1断S是否为等差数列，并求出nSn的表达式，然后求出数列{an}的通项公式，并判断其是否为等差数列．[规范解答]因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，所以由an－2SnSn－1＝0，可得Sn－Sn－1－2SnSn－1＝0(n≥2)，111所以－S＝2(n≥2)，又因为S1＝a1＝2Sn－1n1所以S是以2为首项，2为公差的等差数列．n11所以S2＋(n－1)×2＝2n，故Sn＝2nn11所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1－1＝，2nn－1－1所以an＋1＝2nn＋1－1－1而an＋1－an＝2nn＋12nn－11－111－＝2nn＋1n－1＝nn－1n＋1所以当n≥2时，an＋1－an的值不是一个与n无关的常数，故数列{an}不是一个等差数列．1综上，S是等差数列，{an}不是等差数列．n【规律总结】判断数列是否为等差(比)数列的方法在判断一个数列是否为等差(比)数列时，应该根据已知条件灵活选用不同的an＋1，方法，一般是先建立an＋1与an的关系式或递推关系式，表示出an＋1－an或an然后验证其是否为一个与n无关的常数．另外，常数列{an}的通项公式an＝a，它是一个首项a1＝a，公差d＝0的等差数列，若a≠0，则该数列也是一个首项a1＝a，公比q＝1的等比数列．如果一个数列中包含有0的项，那么这个数列一定不是等比数列．【变式训练】3．(2012·西安模拟)已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝2an＋2.(1)求证：数列{an＋2}是等比数列(要求指出首项与公比)；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解析(1)证明由an＋1＝2an＋2，得an＋1＋2＝2an＋4，an＋1＋2即an＋1＋2＝2(an＋2)，即2(n∈N＋)，an＋2又由a1＝2得a1＋2＝4，所以数列{an＋2}是以4为首项，以2为公比的等比数列．(2)由(1)知an＋2＝4·2n－1＝2n＋1，所以an＝2n＋1－2，所以Sn＝22＋23＋…＋2n＋1－2n221－2n＝－2n＝2n＋2－2n－4.1－2【押题2】在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝an{bn}是等差数列；2－(2)求数列{an}的前n项和Sn.解析(1)证明由已知an＋1＝2an＋2n，得an＋12an＋2nanbn＋1＝2＝2＝－＋1＝bn＋1.2又b1＝a1＝1，因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知a－2n1，－＝n，即an＝n·2Sn＝1＋2×21＋3×22＋…＋n×2n－1，两边乘以2得2Sn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，两式相减得Sn＝－1－21－22－…－2n－1＋n·2n＝－(2－1)＋n·2＝(n－1)2＋1.nnn第二篇：巧用构造法证明不等式巧用构造法证明不等式构造法是指在解决数学问题的过程中，为了完成由条件向结论的转化，通过构造辅助元素，架起一座沟通条件和结论的桥梁，从而使问题得到解决。不等式证明是高中数学的一个难点问题，若能巧用构造方法，可以使一些问题化难为易.本文拟用构造法巧证一些不等式问题，仅供参考.一、构造函数证明不等式若能根据题中条件的特征，巧妙地构造函数，利用函数的图象和性质来证明不等式.例1（2011年安徽高考理科题）（Ⅰ）设x1,y1，证明111xyxy，xyxy（Ⅱ）1abc，证明logablogbclogcalogbalogcblogac.解：∵x1，y1，所以要证明原不等式成立，则只需证xy(xy)1yx(xy)2成立.令f(x)yx(xy)2[xy(xy)1](y2y)x2(1y2)xy1当y1时，则f(x)0，即xy(xy)1yx(xy)2，所以111xyxyxyxy111(,1).函数当y1时，二次函数f(x)的图象开口向上，对称轴x22y2f(x)在[1,)上单调递增，所以f(x)f(1)y2y1y2y10所以111xyxyxyxy综上，所证明的原不等式成立.（Ⅱ）证明略.二、构造方程证明不等式由解不等式的经验知，