2008-2009届长沙一中，雅礼中学联考理科数学（第七次月考）.doc

用心爱心专心

2009届长沙一中――雅礼中学
高三联考试卷
数学（理工农医类）
命题：卿科审卷：卿科
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：正棱锥、圆锥的侧面积公式
如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么其中，c表示底面周长、l表示斜高或
P（A·B）=P（A）·P（B）母线长
如果事件A在1次实验中发生的概率是球的体积公式
P，那么n次独立重复实验中恰好发生k
次的概率其中R表示球的半径
第I卷(共50分)
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
１．复数等于
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
２．设全集Ｉ是实数集R.都是Ｉ的子集（如图所示，则阴影部分所表示的集合为
Ａ． Ｂ．
Ｃ．Ｄ．
３．函数的最小正周期是
Ａ．Ｂ． Ｃ． Ｄ．
４．设等差数列的公差为2，前项和为，则下列结论正确的是
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
５．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积为
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
６．已知，且a+b=1，则下列不等式中，正确的是
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
７．在空间给出下列四个命题：
①如果平面内的一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则⊥；
②如果直线与平面内的一条直线平行，则∥；
③如果直线与平面内的两条直线都垂直，则⊥；
④如果平面内的两条直线都平行于平面，则∥．其中正确的个数是
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
８．已知点，O是坐标原点，点的坐标满足，设z为在上的投影，则z的取值范围是
Ａ．Ｂ．Ｃ． Ｄ．
９．把半径都为的四个小球装入一个大球内，则此大球的半径的最小值为
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
10．设点是函数图象上的任意一点．点的坐标为，为坐标原点，则使得为直角三角形的点的个数是
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
第II卷
二．填空题：本大题共５小题，每小题5分（第14、15题第一空２分，第二空3分），共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
11．二项式展开式中的系数为．
12．若，则．
13．在五个数字组成没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有．
14．已知⊙及直线．点是直线上的任意一点．
过作⊙的两条切线，为切点．（i）当时，则直线的方程为；（ii）的最大值为．
15．已知函数．（i）函数的对称中心为；（ii）若函数的图象有对称中心，则．
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
一袋中装有分别标记着1、2、3、4数字的4个球,从这只袋中每次取出1个球,取出后放回,连续取三次,设三次取出的球中数字最大的数为.
（１）求时的概率；（２）求的概率分布列及数学期望.
解：（１）表示取出的三个球中数字最大者为3．
①三次取球均出现最大数字为3的概率
②三取取球中有2次出现最大数字3的概率
③三次取球中仅有1次出现最大数字3的概率
∴．……………………………………………………6分
（２）在时,利用（１）的原理可知：
,(=1,2,3,4)
１２３４的概率分布为：

=1×eq\f(1,64)＋2×eq\f(7,64)＋3×eq\f(19,64)＋4×eq\f(37,64)=eq\f(55,16)．………………………………………………12分
17．（本小题满分12分）
如图,在正方体—中,
为的中点．
（１）证明：平面平面；
（２）求与平面所成角的大小的正弦值．
解：（１）取的中点的中点连结

平面,.
又,
平面．……………………………3分

,四边形是平行四边形,平面
又平面,平面平面………………………………6分
（２）过作于，连结．
由（１）中的平面平面知面，所以在面上的射影为，所以就是所求的角．…………………………………………9分
令正方体的棱长为，所以，所以．
即与平面所成角的大小的正弦值为．…………………………12分
18．（本小题满分12分）
已知函数，过该函数图象上任意一点
（１）证明：图象上的点总在图象的上方；
（２）若上恒成立，求实数的取值范围．
解：（１），
设
为增，
当
，
所以图象上的点总在图象的上方．…………………………6分
（２）当．
x（－∞，0）（0，1）1（1，+∞）F‘（x）－－0+F（x）减减e增①当x＞0时，F（x）在x=1时有最小值e，．
②当x＜0时，F（x）为减函数，
，
．
③当x=0时，∈R．
由①②③，恒成立的的范围是．……………………………………12分
19．（本小题满分13分）
β
北
M
A
B
C
α
如图，一船在海上由西向东航行，在处测得某岛的方位角为北偏东角，前进后在处测得该岛的方位角