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中国人口数量与消费的实证研究
——基于Ramsey模型

摘要：本文通过引进逻辑斯蒂方程修正Ramsey模型，建立人口数量与消费水平之间的关系，并运用计量经济学的协整理论和误差修正模型，对人口数量与消费关系进行实证分析。研究表明，人口的短期波动对消费影响较小，因为当短期波动偏离长期均衡时，系统会自动将非均衡状态拉回到均衡状态，但人口与消费在长期具有较强联系。

关键词：人口增长与福利Ramsey模型逻辑斯蒂人口增长方程误差修正模型

一．引言
改革开放以来，我国经济发展迅速，人民生活水平不断提高。同时，我国是一个人口大国，庞大的人口数量也给我国经济发展带来不少严峻的考验。自我国把“计划生育”定为基本国策以来，人口增长率有所放缓，但由于人口基数大，我国的人口压力还是很大。尽管我国巨大的人口数创造了较高的GDP总量，但是庞大的人口数量对人们消费水平是否有影响，却不是一个显而易见的问题。
不少学者对我国的人口与资源环境的关系从而对福利水平进行了研究。如刘宇辉（2005）运用生态足迹模型对中国的生态足迹和生态承载力进行计算分析，分析表明随着我国人口的上升，对资源的消费已经造成我国的生态赤字不断增长，影响了人们的生活质量。高志英（2007）对人口变动进行生态经济效应分析，认为人口数量增长及人口增长分布不均有可能导致生态环境恶化。但这些研究都没能从人口数量与直接反映人们福利水平的消费之间的关系机理进行深入分析。本文将通过修正的Ramsey模型来建立人口数量与消费水平之间的关系，并通过计量经济学的协整理论和误差修正模型，对人口数量与消费关系进行实证分析。

二．模型
1．逻辑斯蒂方程
英国统计学家Malthus（1766-1834）在1978年《人口原理》一书中，提出了著名的Malthus人口模型：
（1-1）
式中，r为常数，其解为。在方程（1-1）中，人口以为公比，按几何级数增加。根据这个模型，人口将会无限增长。很显然，这个人口模型十分粗糙，Malthus没有考虑环境的因素，而实际上人类所生存的环境中资源并不是无限的，因而人口的增长也不可能是无限的。实践证明，只要人口总数不大时，Malthus人口模型是正确的，但是当人口总数非常大时，地球上的各种资源，、环境条件等因素对人口增长的限制作用将越来越显著。
针对这一情况，比利时数学家Verhust首先对Malthus模型中关于人口增长率为常数这一假设作了修改，修改后如下：
（1-2）
其中a,b称为生命系数，-对于一般的生物称为竞争项。一般来说，常数b同a相比是比较小的。因此，如果N不太大，竞争项-同rN相比就可以省略。人口总数将按指数方式增长。当N很大时，竞争项-就不能忽略了，这样就会使人口总数急剧增长的速度减缓下来。（1-2）就是著名的逻辑斯蒂方程，其解为：

2．修正的Ramsey模型
考虑在一个经济体中，K＝K（t）表示t时刻的资本存量，C＝C（t）表示t时刻的消费，L＝L（t）表示t时刻的人口数量，Y＝Y（t）表示t时刻的国民收入。
传统的Ramsey模型通常假定人口数量是呈指数增长的，即L（t）＝L0ert。这种假定有助于分析的简便，但却脱离了实际。因为按照这种假定，当t趋于无穷大时，人口也将趋于无穷大，这显然是不合常理的。当人口数量足够大时，由于环境资源的承载力有限，人口增长将会受到限制。基于这样的认识，本文通过引进逻辑斯蒂人口增长方程来修正传统的Ramsey模型，因此：
，a,b>0
,
可以推出：=MACROBUTTONMTEditEquationSection2EquationChapter(Next)Section1SEQMTEqn\r\h\*MERGEFORMATSEQMTSec\r1\h\*MERGEFORMATSEQMTChap\h\*MERGEFORMATMACROBUTTONMTEditEquationSection2EquationSection(Next)SEQMTEqn\r\h\*MERGEFORMATSEQMTSec\h\*MERGEFORMAT
所以人口增长率为：,可以看出，在长期它将趋于零。
设为人均收入，为人均资本，为生产函数，则有：，并且有以下条件：

我们假设收入被用于消费和投资：，并且资本存量的变化等于总投资减去资本折旧：。因此：

即：，这里表示人均消费。又有：，所以。因此我们有约束条件：。
假设表示每人的消费效用，并且有，。为使在约束条件下的贴现值效用最大化，我们有：

建立现值汉密尔顿函数：
可得：
条件两边对t求导可得：，即：，再根据，得：
因此该模型可用以下三个微分方程表示：

三．均衡与稳定
为求得模型的均衡解，令：，则有：

得到均衡解：
为研究均衡解的稳定性，我们考虑系统在这点