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第二节雅可比方法

雅可比方法是用来计算实对称矩阵A的全部特征值及其相应特征向量的一种变换方法.在介绍雅可比方法之前，先介绍方法中需要用到的线性代数知识与平面上的旋转变换.

一预备知识
如果n阶方阵满足

则称为正交阵.
(2)设是阶实对称矩阵，则的特征值都是实数，并且有互相正交的个特征向量.
(3)相似矩阵具有相同的特征值.
(4)设是阶实对称矩阵，为阶正交阵，则也是对称矩阵.
(5)阶正交矩阵的乘积是正交矩阵.
设是阶实对称矩阵，则必有正交矩阵，使
(1)
其中的对角线元素的是的个特征值，正交阵的第列是的对应于特征值的特征向量.
由(6)可知,对于任意的阶实对称矩阵，只要能求得一个正交阵，使(为对角阵),则可得到A的全部特征值及其相应的特征向量,这就是雅可比方法的理论基础.

二旋转变换设

为二阶实对称矩阵,即.因为实对称矩阵与二次型是一一对应的,设对应的二次型为
(2)
由解析几何知识知道，方程表示在平面上的一条二次曲线.如果将坐标轴旋转一个角度,使得旋转后的坐标轴与该二次曲线的主轴重合,如图4-1所示,

则在新的坐标系中,二次曲线的方程就化成
(3)
这个变换就是
(4)
变换(4)把坐标轴进行旋转,所以称为旋转变换.其中
(5)
称为平面旋转矩阵。显然有,所以是正交矩阵.上面的变换过程即.由于
所以只要选择满足

即
(6)
(当时，可选取)就成对角阵，这时的特征值为

相应的特征向量为

三雅可比方法
雅可比方法的基本思想是通过一系列的由平面旋转矩阵构成的正交变换将实对称矩阵逐步化为对角阵,从而得到的全部特征值及其相应的特征向量.首先引进中的平面旋转变换.变换
(7)
记为,其中
(8)

则称为中平面内的一个平面旋转变换,称为平面内的平面旋转矩阵.容易证明具有如下简单性质：
①为正交矩阵.
②的主对角线元素中除第个与第个元素为外，其它元素均为1；非对角线元素中除第行第列元素为,第行第列元素为外,其它元素均为零.
③只改变的第行与第行元素，只改变的第列与第列元素,所以只改变的第行、第行、第列、第列元素.
设为阶实对称矩阵,为一对非对角线元素.令

则为实对称矩阵,且与有相同的特征值.通过直接计算知
(9)
当取满足关系式
（10）
时，，且
(11)
由于在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变，所以若用表示矩阵的对角线元素平方和，用表示的非对角线元素平方和,则由(11)式得
(12)
这说明用对作正交相似变换化为后,的对角线元素平方和比的对角线元素平方和增加了,的非对角线元素平方和比的非对角线元素平方和减少了,且将事先选定的非对角线元素消去了(即).因此，只要我们逐次地用这种变换，就可以使得矩阵的非对角线元素平方和趋于零,也即使得矩阵逐步化为对角阵.
这里需要说明一点：并不是对矩阵的每一对非对角线非零元素进行一次这样的变换就能得到对角阵.因为在用变换消去的时候,只有第行、第行、第列、第列元素在变化,如果或为零,经变换后又往往不是零了.
雅可比方法就是逐步对矩阵进行正交相似变换,消去非对角线上的非零元素,直到将的非对角线元素化为接近于零为止，从而求得的全部特征值,把逐次的正交相似变换矩阵乘起来,便是所要求的特征向量.
雅可比方法的计算步骤归纳如下：
第一步在矩阵的非对角线元素中选取一个非零元素.一般说来，取绝对值最大的非对角线元素;
第二步由公式求出，从而得平面旋转矩阵;
第三步,的元素由公式(9)计算.
第四步以代替，重复第一、二、三步求出及，继续重复这一过程，直到的非对角线元素全化为充分小(即小于允许误差)时为止.
第五步的对角线元素为的全部特征值的近似值,的第j列为对应于特征值(为的对角线上第j个元素)的特征向量.
例1用雅可比方法求矩阵

的特征值与特征向量.
解首先取,由于,故取,所以

=
再取由

得

所以

=
继续做下去,直到非对角线元素趋于零,进行九次变换后,得

的对角线元素就是A的特征值，即

相应的特征向量为

相应的特征值的精确值

相应的特征向量为

由此可见，雅可比方法变换九次的结果已经相当精确了.
用雅可比方法求得的结果精度都比较高,特别是求得的特征向量正交性很好,所以雅可比方法是求实对称矩阵的全部特征值及其对应特征向量的一个较好的方法.但由于上面介绍的雅可比方法,每次迭代都选取绝对值最大的非对角线元素作为消去对象,花费很多机器时间.另外当矩阵是稀疏矩阵时,进行正交相似变换后并不能保证其稀疏的性质,所以对阶数较高的矩阵不宜采用这种方法.
目前常采用一种过关雅可比方法.这种方法是选取一个单调减小而趋于零的数列(即,且)作为限值，这些限值称为”关”,对矩阵的非对角线元素规定一个顺序(例如先行后列、自左至右的顺序).首先对限值按规定的顺序逐个检查矩阵的非对角线元素,碰到绝