专插本历年真题高数2012.docx

广东省2012年普通高等学校本科插班生招生考试
《高等数学》试题

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。每小题只有一个选项符合题目要求）
1．已经三个数列{an）、{bn）和{cn）满足anbncn（n∈N+），且an=a，cn=c(a、b
为常数，且a<c)，则数列{bn）必定
A．有界B．无界
C．收敛D．发散
2．x=0是函数，的
A．连续点B．可去间断点
C．跳跃间断点D．第二类间断点
3．极限2xsin=
A．0B．2
C．3D．6
4．如果曲线y=ax-的水平渐近线存在，则常数a=
A．2B．1
C．0D．-1
5．设f(x，y)为连续函数，将极坐标形式的二次积分化为直角坐标形式，则I=
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
6．设f(x)在点x0处可到，且f’(x0)=3，则.
7．若，则f”（）=．
8．若曲线y=x3+ax2+bx+l有拐点(-l，0)，则常数b=____．
9．广义积分．
10．设函数f(u)可微，且f’(o)=，则z=f（4x2一y2）在点(1，2)处的全微分.
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
11．计算．
12．设函数y=f(x)由参数方程所确定，求(结果要化为最简形式).
13．确定函数的单调区间和极值．
14．求不定积分．
15．设，利用定积分的换元法求定积分．
16．求微积分方程y’’一4y'+13y=0满足初始条件特解．
17.已知二元函数z=x(2y+1)x，求．
18．计算二重积分，其中D是由曲线y=及直线y=1，x=0围成的闭区域．
四、综合题（大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分）
19．已知C经过点M(1，0)，且曲线C上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP（O为坐标原点）的斜率之差等于ax（常数a>0）．
(1)求曲线C的方程；
(2)诚确a的值，使曲线C与直线y=ax围成的平面图形的面积等于．
20．若当x→0，函数与x是等价无穷小量；
(1)求常数a的值；(2)证明：．

广东省2012年普通高等学校本科插班生招生考试
《高等数学》参考答案及评分标准

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．A2．C3．D4．B5．C
二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）
6．-67．8．39．ln210．4dx-2dy
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
-Wl+x)（2分）
1l．解：原式=，（2分）
（4分）
（6分）
12．解：
（3分）
（结果没有化简扣2分）.(6分)
13．解：函数的定义域为，

，（2分）
令，解得x=0，x=-1
因为在区间(-∞，-1)内，；在区间(-l，0)内，<0；
在区间(0，+)内，，
所以的递增区间是(-，-1)及(0，+)，递减区间是（-1，0），(4分)
的极大值是的极小值．(6分)
14．解：(2分)，

(6分)
15．解：（2分）

（4分）
.（6分）
16．解：由微分方程的特征方程r2-4r+13=0解得r=2±3i，（2分）
所以此微分方程的通解为
.（4分）
因为,
由解得C1=1，C2=2，
故所求特解为.（6分）
17．解：,(2分)
，(4分)
故(6分)
18．解：积分区域D如图：
（3分）

=
=（6分）
四、综合题（本大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分）
19．解：(1)设曲线C的方程为y=厂O），由题意知
．（2分）
由得
（4分）
,，
因为，解得
故曲线C的方程为．（6分)
(2)如图，
由解得x=0，x=2，（10分）
即，
解得a=2．（12分）
由题意知，

20．解：(1)解：由题意知，（4分）
．
(2)证：，
设，则，（6分）
令，在区间(0，2)内解得x=l，
因为g(0)=1，g(1)=，g(2)=4，
所以g(x)在区间[0，2]上的最大值为4，最小值为．（8分）
由定积分的估值定理可得，
所以有．（10分）