雅可比行列式.docx

§11.2.函数行列式
教学目的掌握函数行列式．
教学要求
(1)．掌握函数行列式
(2)能用函数行列式解决一些简单的问题

一、函数行列式
由到R的映射（或变换）就是n元函数，即
，或

由到的映射（或变换）就是n个n元函数构成的函数组，即
，或

表为，设它们对每个自变量都存在偏导数，行列式（2）
称为函数组在点的雅可比行列式，也称为函数行列式，表为.
例：求下列函数组（变换）的函数行列式：
1.极坐标变换

2.柱面坐标变换

.
3.球面坐标变换

二、函数行列式的性质
为了简单起见，仅就n=2的情形加以讨论，所有结果对任意自然数n都是正确的.
已知一元函数与的复合函数的导数是，与它类似的有：
定理1.若函数组有连续的偏导数，而也有连续偏导数，则
.
证明：由复合函数的微分法则，有

由行列式的乘法，有

.
若一元函数在点某邻域具有连续的导数，且.由连续函数的保号性，在点某邻域保持同一符号，因而在函数严格单调，它存在反函数，且

和它类似的有：
定理2.若函数组有连续的偏导数，且，则存在有连续偏导数的反函数组，且

证明：§11.1.定理3的推论已给出存在连续偏导数组的证明.下面证明（3）式成立.在定理1中，令，有

，
即，.
三、函数行列式的几何性质
一元函数是到的映射.取定一点，它的象是.当自变量x在点有改变量，相应y在有改变量.线段的长与线段的长之比称为映射f在到的平均伸缩系数，若当时平均伸缩系数存在极限，即
，
则称是映射f在点的伸缩系数.
由此可见，一元函数在点的导数的绝对值有新的几何意义：它是映射f在点的伸缩系数.
同样，到的变换也有类似的几何意义.
定理3.若函数组在开区域G存在连续的偏导数，且，有.函数组将xy平面上开区域G变换称uv平面上的开区域.点变换成uv平面上点，则包含点的面积微元与对应的包含点的面积微元之比是，即
.