西华大学专升本高等数学考试题附答案.docx

西华大学2014年专升本考试试题
（高等数学）
二、填空题（把答案填在括号中。本大题共5个小题，每小题3分，总计15分）
1、设则（）
2、设的一个原函数是，则（）
3、微分方程的特解可设为（）
4、幂级数的和函数为（）
5、设则（）
二、判断题（把答案填在题中括号中，正确的打√，错误的打，本大题共5个小题，每小题2分，总计10分）
1、点是曲线的拐点.(√)
2、直线与平面相互垂直.(√)
3、如果函数在点的某一邻域内偏导数都存在，则函数在点处可微.()
4、是常数项级数，若则收敛.()
5、设是同型矩阵，则()
三、求解下列各题（本大题共4小题，每小题6分，总计240分）
1、求极限
解：

2、求不定积分
解：

3、求定积分
解：令，则，
故

4、设其中是可微函数，求.
解：

四、解答题（本大题共6小题，每小题6分，总计36分）
1、设在处可导，求的值.
解：因为在处可导，故在处连续。即
又因此
又，

故
2求微分方程的通解.
解：通解为
3、判断下列正项级数的敛散性.
(1)
解：因为，又收敛（等比级数），
由比较审敛法得收敛。
(2)
解：因为，又发散，由比较审敛法的极限形式得发散。
4、计算二重积分，其中
解：

5、求，其中是圆周从点到原点的一段弧.
解：，故，曲线积分与路径无关。选择新路径，故

6、当取何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多解？
解：增广矩阵

当时，，方程组有无穷多个解。
当时，，方程组有唯一解。
五、证明题（本大题共3小题，每题5分，总计15分）
1、设在上连续且又，证明：在内有且仅有一个根.
证明：易知在上连续，
，
故由零点定理得，方程在内至少存在一个根。
又故方程在内最多有一个根。
综上所述，方程在内有且仅有一个根.
2、求证：当时，有不等式
证明：设，易知函数在上连续，在内可导且，
由拉格朗日中值定理得：，即，其中
又，因此
3、已知是等差数列，，证明级数发散.
证明：是等差数列，，故设。
于是，取，又
而发散，由比较审敛法的极限形式得发散。