专升本数学分析精选三试卷及答案.docx

《数学分析》――参考答案及评分标准
一.计算题（共8题，每题9分，共72分）。

求函数在点(0,0)处的二次极限与二重极限.
解：，因此二重极限为.……(4分)
因为与均不存在，
故二次极限均不存在。……(9分)

设是由方程组所确定的隐函数,其中和分别具有连续的导数和偏导数,求.
解：对两方程分别关于求偏导:

，
……(4分)
。解此方程组并整理得.……(9分)

取为新自变量及为新函数，变换方程
。
设（假设出现的导数皆连续）.
解：看成是的复合函数如下：
。……(4分)
代人原方程，并将变换为。整理得：
。……(9分)

要做一个容积为的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省?
解：设圆桶底面半径为,高为,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中
目标函数:,
约束条件:。……(3分)
构造Lagrange函数：。
令……(6分)
解得，故有由题意知问题的最小值必存在，当底面半径为高为时，制作圆桶用料最省。……(9分)

设,计算.
解：由含参积分的求导公式
……(5分)

。……(9分)

求曲线所围的面积，其中常数.
解：利用坐标变换由于，则图象在第一三象限，从而可以利用对称性，只需求第一象限内的面积。
。……(3分)
则
……(6分)

.……(9分)
7.计算曲线积分,其中是圆柱面与平面的交线（为一椭圆），从轴的正向看去，是逆时针方向.
解：取平面上由曲线所围的部分作为Stokes公式中的曲面，定向为上侧，则的法向量为
。……(3分)
由Stokes公式得

……(6分)

……(9分)

8.计算积分,为椭球的上半部分的下侧.
解：椭球的参数方程为，其中且
。……(3分)
积分方向向下，取负号，因此，
……(6分)

……(9分)

二.证明题（共3题，共28分）。
9.（9分）讨论函数在原点(0,0)处的连续性、可偏导性和可微性.
解：连续性：当时，
，当，
从而函数在原点处连续。……(3分)
可偏导性：，
，
即函数在原点处可偏导。……(5分)
可微性：不存在，
从而函数在原点处不可微。……(9分)

10.（9分）（9分）设满足：
（1）在上连续，
（2），
（3）当固定时，函数是的严格单减函数。
试证：存在，使得在上通过定义了一个函数，且在上连续。
证明：（i）先证隐函数的存在性。
由条件（3）知，在上是的严格单减函数，而由条件（2）知，从而由函数的连续性得
，。
现考虑一元连续函数。由于，则必存在使得
，。
同理，则必存在使得
，。
取，则在邻域内同时成立
，。……(3分)
于是，对邻域内的任意一点，都成立
，。
固定此，考虑一元连续函数。由上式和函数关于的连续性可知，存在的零点使得
＝0。
而关于严格单减，从而使＝0的是唯一的。再由的任意性，证明了对内任意一点，总能从找到唯一确定的与相对应，即存在函数关系或。此证明了隐函数的存在性。
……(6分)
（ii）下证隐函数的连续性。
设是内的任意一点，记。
对任意给定的，作两平行线
，。
由上述证明知
，。
由的连续性，必存在的邻域使得
，，。
对任意的，固定此并考虑的函数，它关于严格单减且
，。
于是在内存在唯一的一个零点使
，
即对任意的，它对应的函数值满足。这证明了函数是连续的。……(9分)
11.（10分）判断积分在上是否一致收敛，并给出证明。
证明：此积分在上非一致收敛。证明如下：
作变量替换，则
。……(3分)
不论正整数多么大，当时，恒有。……(5分)
因此，
……(7分)

，当时。
因此原积分在上非一致收敛。……(10分)
注：不能用Dirichlet判别法证明原积分是一致收敛的。原因如下：
尽管对任意的积分一致有界，且函数关于单调，但是当时，关于并非一致趋于零。事实上，取相应地取，则，并非趋于零。