陕西专升本高数真题解答.docx

2012年陕西省普通高等教育专升本招生考试（样题）
高等数学
注意事项：
全卷，满分150分。考试时间150分钟。其中试题3页，用钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上，答在试卷上的答案无效。

一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选好的答案填在答题纸上题号所在的位置上。
1.是函数的【B】
A.可去间断点B.跳跃间断点C.振荡间断点D.连续点
2．设函数,则有【D】
A.极大值B.极大值C.极小值D.极小值
3.设函数的导函数为,则有一个原函数为【A】
A.B.C.D.
4.不定积分【A】
A.B.C.D.
5.无穷级数【B】
A.当时,为条件收敛B.当时,为绝对收敛
C.当时,为绝对收敛D.当时,为发散的

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。将答案填在答题
纸上题号所在的位置。
6.设函数,则.
7.极限.
8.已知，当时,与是等价无穷小,则常数
.
9..
10.微分方程的通解为.

三、计算题：本大题共10个小题，每小题8分，共80分.计算题要有计算
过程.
11．求极限.
解：
12．设参数方程确定了函数，求.
解：因为(4分)
所以(8分)
13.求函数的单调区间和极值.
解：(3分)
当时，;当时，;当时,.所以的单调增区间为;单调减区间为;(6分)
在处取得极大值,在处取得极小值(8分)
14.求不定积分.
解：
(2分)
(6分)
(8分)
15.设函数,其中具有二阶连续偏导数,二阶可导,求和.
解：(4分)
(8分)
16.求空间曲线在点处的切线方程和法平面方程.
解：曲线方程，，，对应点为(2分)
因为；；
所以；；(4分)
所求切线方程为(6分)
法平面方程为
即(8分)
17.计算二重积分,其中积分区域.
解：法一(4分)
(8分)
法二：

18.计算对坐标的曲线积分,其中是四个顶点分别为,,和的正方形区域的正向边界.
解：设，，所围区域为，且
：，
由格林公式，得
(4分)
(6分)
(8分)
19.将函数展开为麦克劳林级数.
解：(2分)
(6分)
(8分)
20.求微分方程的通解.
解：原微分方程所对应齐次方程为
，
它的特征方程为

特征根为，.于是所给方程对应的齐次方程的通解为
(3分)
设非齐次方程的特解为(5分)
代入方程，得

解得，
所求特解为
(6分)
从而所求非齐次方程的通解为
(8分)
四、证明题和应用题：本大题共2个小题,每小题10分,共20分。计算题要有计算过程,证明题要有证明过程。
21.设函数在上的连续函数,且
,
求证:=1\*GB3①;
=2\*GB3②方程在内仅有一个实根.
证明:=1\*GB3①(5分)
=2\*GB3②因为在上是单调增加函数,所以方程在内最多只有一个根.
又,(8分)
根据零点定理,方程在内至少有一个根.
综合以上可知,方程在内仅有一个实根.(10分)
22.求抛物线及其在点和处的切线所围成的图形的面积.
解：因为(2分)
所以曲线在处切线方程为

即

曲线在处切线方程为

即
(5分)
因为两切线交点为(6分)
所以，所求面积为
(8分)

(10分)