服务网点选址的数学模型2013.docx

青岛科技大学第八届“校长杯”数学知识竞赛暨2013年全国研究生、大学生数学建模竞赛选拔赛
题目 服务网点选址的数学模型
摘要
随着城乡的迅速发展，需要为乡镇村落之间建立服务网点，以提供各种服务，服务网点的位置选择的问题具有一定的意义。本文根据各个自然村的位置及人口分布状况，采用无约束优化、牛顿法、动态规划等数学方法，建立了服务网点选址的数学模型，利用Matlab、Lingo、Excel等软件进行求解。
对于问题一，本文的目标是使更多的人民群众得到更快捷的服务，将其目标转换为数学问题，由于不考虑交通问题，距离短，时间就短，人口数作为权重，人口多，相应的权重大。以服务网点到各个自然村之间的距离平方与权重乘积的总和作为目标函数，即，建立了数学模型，利用无约束优化的数学方法，应用Matlab求得服务网点的最佳位置为。
对于问题二，为将问题简化，首先将12个自然村进行分割，每个服务网点有固定的服务村落，对于分割方法可以有不同的分法，但是合理的分法使得两个服务网点的服务人口尽量均衡，然后根据人口加倍后的人口数目，对两个部分分别建立同问题一相同的目标函数，分别求得两个服务网点的坐标。本模型采取了两种分割方法，方法一为：自然村1、2、3、4、7、10为一组，此时求得的两个网点坐标为：和，其中；方法二为：自然村1、3、5、6、7、8、9为一组，此时求得的两个网点的坐标为：和，其中，比较两种分割方法，方法一更合理。
对于问题三，从其中一个服务网点出发，到各村分发销售广告，回到另一个服务网点，最佳的路线即用时最短的线路，用时最短可以转化为距离最短，针对这个问题，采用动态优化的数学方法，根据第二问得到的网点1和网点2以及各个自然村的坐标等信息，将此过程分为13个阶段，建立最佳行走路线的数学模型，利用Lingo编程求取得到最佳路线为：
，此时的最短距离为41.54184。

关键词：无约束优化牛顿法动态规划MatlabLingo
一、问题重述

某乡镇由12个主要的自然村组成，每个自然村的位置（用平面坐标x,y表示，距离单位：km）和自然村的人口数（R）如下表所示。
123456789101112X08.200.505.700.772.874.432.580.729.763.195.55Y00.504.905.006.498.763.269.329.963.167.207.88R6001000800140012007006008001000120010001100表112个自然村的位置及人口
试根据需要解决如下问题：
目前准备在该乡镇建一个服务网点为各村提供各种服务，那么服务网点应该建在何处？
假设各村人口增长了一倍，需要建两个服务网点，试确定其位置。
从一个服务网点出发，到每个村发放销售广告，最后回到另一个服务网点，试确定最佳行走路线。

二、问题分析
2.1问题一的分析
针对问题一，为了达到使更多的人民在短时间内得到服务的目的，将其转化为数学问题，由于不考虑交通问题，距离短，时间就短，人口数可以作为权重，人口多，相应的权重大。以服务网点到各个自然村之间的距离平方与权重乘积的总和作为目标函数，建立了数学模型，利用无约束优化的数学方法，应用Matlab求解。
2.2问题二的分析
针对问题二，为了简化问题，首先将12个自然村进行分割，每个服务网点有固定的服务村落，对于分割方法可以有不同的分法，但是合理的分法使得两个服务网点的服务人口尽量均衡，然后根据人口加倍后的人口数目，在两个部分分别建立同问题一相同的目标函数，分别求得两个服务网点的坐标。本模型拟采取两种分割方法，通过比较目标函数的大小，对两种方法进行取舍。
2.3问题三的分析
针对问题三，从其中一个服务网点出发，到各村分发销售广告，回到另一个服务网点，最佳的路线即用时最短的线路，用时最短可以转化为距离最短，针对这个问题，采用动态优化的数学方法，由第二问得到的网点以及各个自然村的坐标，将行走的过程分成13个阶段，建立最优路线的数学模型，利用Lingo编程求取最佳路线。

三、模型假设与约定
1.各个自然村之间的道路四通八达，任意两点之间可以直线相通，即服务网点到各自然村之间的距离为两点间的距离；
2.各个自然村的人口年龄性别比重相似，各服务站可以给予类似的服务，不会出现自然村之间的年龄性别差别比较大，使得服务站在某一方面的服务比较繁忙；
3.在理想情况下进行选址，不考虑自然灾害；
4.人口增加一倍后，人口的年龄性别比例依旧不发生变化。

四、符号说明
自然村的坐标自然村的人口数在总人口中的权重问题1服务网点的坐标问题2方法一服务网点1的坐标问题2方法一服务网点2的坐标问题2方法二服务网点1的坐标问题2方法二服务网点2的坐标目标函数

五、模型建立与求解
5.1问题一的模型建立与求解
针对问