5.3 平面向量的数量积 Microsoft Word 文档.doc

5.3平面向量的数量积
一、明确复习目标
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;掌握向量垂直的条件;
2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.
二．建构知识网络
1两个向量的数量积：
(1)设两个非零向量与,称∠AOB=为向量与的夹角，(00≤θ≤1800)，当非零向量与同方向时，θ=00，当与反方向时θ=1800，与其它非零向量不谈夹角问题
（2）数量积的定义：·=︱︱·︱︱cos,叫做与的数量积;规定,其中︱︱cos∈R，叫向量在方向上的投影.
2.数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积.
3．平面向量数量积的运算律：①交换律成立：
②对实数的结合律成立：
③分配律成立：
④乘法公式成立：
；

特别注意：（1）结合律不成立：；
（2）消去律不成立不能得到
（3）=0不能得到=或=
4．两个向量的数量积的坐标运算：
已知，则·=
5．向量数量积的性质：
（1）⊥·＝O
（2）当与同向时，当与反向时，
一般地特别地：——向量运算与模的转化。
（3）求夹角：cos==
若则夹角为锐角或00;
若则夹角为钝角或1800.
（4）。

三、双基题目练练手
1．（2006北京）若与都是非零向量，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件()
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
2．(2005江西)．已知向量=(1,2),=(-2,-4)，||=若则与的夹角为 （）
A．30° B．60°C．120°D．150°
3．(2006陕西)已知非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))满足(eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)+eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0且eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|)=eq\f(1,2),则△ABC为()
A三边均不相等的三角形B直角三角形
C等腰非等边三角形D等边三角形
4．(2005浙江)．已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则()
A.⊥B.⊥(－)C.⊥(－)D.(＋)⊥(－)
5．与向量的夹角相等，且模为1的向量=______
6.已知且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是________
7.(2006天津)设向量与的夹角为，且，，则__________．
8.(2006天津)设函数，点表示坐标原点，点，若向量，是与的夹角，（其中），设，则=．

简答:1-4.CCDC;
4.利用图形分析,5.或;6.;7.;8.1.
四、经典例题做一做
【例1】已知向量的夹角为钝角,求m的取值范围.
解:夹角为钝角则
解得
又当时,,
∴m的取值范围是

【例2】已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。
解：由题意，且与的夹角为
所以，
，
，同理可得
而，设为与的夹角，则
【例3】已知向量,,且满足关系
,(k为正实数).
(1)求证:;
(2)求将表示为k的函数f(k).
(3)求函数f(k)的最小值及取最小值时的夹角θ.
解(1)证明:
(2)

(3)
当且仅当即k=1时,故f(x)的最小值是
此时
【例4】如图，四边形MNPQ是⊙C的内接梯形，C是圆心，C在MN上，向量与的夹角为120°，·=2.
（1）求⊙C的方程；
（2）求以M、N为焦点且过点P、Q的椭圆的方程.
剖析：需先建立直角坐标系，为了使所求方程简单，需以C为原点，MN所在直线为x轴，求⊙C的方程时，只要求半径即可，求椭圆的方程时，只需求a、b即可.
解：（1）以MN所在直线为x轴，C为原点，建立直角坐标系xOy.
∵与的夹角为120°，故∠QCM=60°.于是△QCM为正三角形，∠CQM=60°.
又·=2，即||||cos∠CQM=2，于是r=||=2.
故⊙C的方程为x2+y2=4.
（2）依题意2c=4，2a=|QN|+|QM|，
而|QN|==2，|QM|=2，
于是a=+1，b2=a2－c2=2.
∴所求椭圆的方程为+=1.
【研讨.欣赏】O
x
y
A
B
C
D
E
如图，△AOE和△BOE都是边长为1的等边三角形，延长OB到C使|BC|＝t(t>0)，连AC交BE于D点．
⑴用t表示向量和的坐标；
⑵求向量和的夹角的大小．
解:⑴＝(eq\f(1,2)(t+1)，－eq\f(\r(3),2)(t+1))，
∵＝t，∴＝t，＝eq\f(1,1+t)