7.3-7.3.2-离散型随机变量的方差.docx

离散型随机变量的方差话(教师独具内容)
课程标准:
通过具体实例，理解离散型随机变量的方差.
教学重点:
离散型随机变量的方差、标准差的计算.
教学难点:
用离散型随机变量的均值、方差解决实际问题.

核I也概念
掌握
HEXINGAINIANZHANGWO-
知识
知识点一方差、标准差的定义(1)设离散型随机变量X的分布列如下表所示.
XXIX2•••XnPPiP2•••Pn考虑X所有可能取值x,•与顼X)的偏差的平方31-即0)2,(X2-E(X))2,…，3〃
-顼X))2.因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的
加权平均，来度量随机变量x取值与其均值顼X)的偏离程度.我们称D(X)=(XIn
-E(X))2pi+(尤2-E(X))2P2+…+3〃-E(X))2p〃=国歹_顼为随机变量Xz=1
的方差，有时也记为就gx),并称阻框囱为随机变量X的标准差，记为"(2)随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,
反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越匝］集
虫；方差或标准差越大，随机变量的取值越何分散.
知识点二方差的结论D(aX+b)=[oi\a2D(X).
眠卸拓展
I2m7/7解析由分布列中概率和为1,得。+§=1,a=y'：E(X)=2,/.y+y=2,
1221
.'.m=6-2n./.D(X)=3X(m—2尹+§X(〃一2尹=3X(〃一2尹+3X(6—2〃一2)2=
2/?2-8n+8=2(〃-2已.・.〃二2时，O(X)取最小值0.
5.(多选)随机变量X的分布列为其中沥尹0,下列说法正确的是()
X012Pbba22a+b=I
3b£(X)=y
c.D(x)随次的增大而减小D.。(力有最大值
11
--
。一2+
2+
a,Z?€(Oa),A正确；E(X)=OXa+
答案ABD
b3b
2X-=y,B正确；D(X)=aX
-最一部+奈，n(O,l),可得力潟时，D(X)取得最大值•D(x)随人的增大先增大后减小，C错误，D正确.故选ABD.
二、填空题6.已知离散型随机变量X的分布列如下表:
X一1012Pabc12若E(X)=O,O(X)=1,则。=
解析VE(X)=O,D(X)=1,由离散型随机变量X的分布列的性质知,计算得出
7.两封信随机投入A,B,。三个空邮箱中，则A邮箱的信件数X的方差
D(X)=2X24QX24
解析X的所有可能取值为0,1,2,p（x=o）=—厂=如P（X=1）=3_=寻+
4-9
X
2
2-3

+
4-9
X
2
2-3
+
4-9
X
2
\xdl7
2-3
I4412(
P(X=2)=^,^E(X)=QX-+IX-+2X-=-,D(X)=[Q
IV9~9*设p为非负实数，随机变量X的分布列为
解析
E(X)=0X
OWpW；.

X()12P1
2~PP1
2则顼X）的最大值为,D（X）的最大值为d（x）=（p+i）2I

解E(Xi)=0X0.7+1X0.2+2X0.06+3X0.04=0.44,E(X2)=0X0.8+1X0.06+2X0.04+3X0.10=0.44,
它们的均值相同，再比较它们的方差.
0(X1)=(0-0.44)2X0.7+(1-0.44)2X0.2+(2-0.44)2X0.06+(3-0.44)2X0.04=0.6064,
D(X2)=(0-0.44)2X0.8+(i_o.44)2X0.06+(2-0.44)2X0.04+(3-0.44)2X0.10=0.9264.
因为D(Xi)<D(X2),所以A机床加工较稳定，质量较好.
如图，左边为四大名著，右边为名著作者，一位小学语文教师为了激发学生阅读名著的热情，在班内进行名著和其作者连线的游戏，作为奖励，参加连线的同学每连对一个奖励一朵小红花.假定一名小学生对四大名著没有了解，只是随机地连线，试求该学生得到小红花数X的分布列及其均值、方差.93
解该小学生连线的情况有都连错，连对一个，连对两个，连对四个，故其得小红花数可能为0个，1个，2个，4个.
《三国演义》罗贯中《水浒传》施耐庵《西游记》吴承恩《红楼梦》曹雪芹ClX281P(x=i)=-^-=-=-,
P(X=2)=
C?X1
"aT
=24=4J

P(X=4)=xj=*故X的分布列为
X0124P311上834243111^I^E(X)=OX^+1X-+2X-+4X—=1,
3111
D(X)=gX(0-l)2+3X(l-l)2+-X(2-l)2+^X(4-1)2=1.
B级：“四能”提升训练（多选）设离散型随机变量X的分布列为
X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量V满足K=2X+1,则下列结果正确的有（）
g=O・lE(X)=2,D(X)