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WLR-正规纯正群并半群
引言
在代数学中，群和半群是两种最基础的代数结构。群有着良好的代数性质，是研究代数结构最为重要的基础。半群是群的广义概念，它不需要满足群的逆元和单位元的唯一性，但仍然有着丰富的代数性质。本篇论文将讨论群和半群中的一类特殊群和半群——WLR-正规纯正群和半群，并研究它们的一些性质和应用。
正文
WLR-正规纯正群和半群的定义
WLR-正规纯正群是一种满足一定条件的群结构，具体定义如下：
设G是一个群，如果它的所有子群都是正规纯正子群，即对于G的任意一个子群H，如果H⊆K≤G，那么H在K中正规且纯正，则称G是WLR-正规纯正群。
同样，WLR-正规纯正半群也是满足一定条件的半群结构，具体定义如下：
设S是一个半群，如果它的所有子半群都是正规纯正子半群，即对于S的任意一个子半群T，如果T⊆U≤S，那么T在U中正规且纯正，则称S是WLR-正规纯正半群。
WLR-正规纯正群和半群的性质
WLR-正规纯正群和半群具有以下性质：
1.WLR-正规纯正群和半群是可Frobenius的。
2.WLR-正规纯正群和半群是强可插的。
3.WLR-正规纯正半群是双群（即既是群又是半群）。
4.任何WLR-正规纯正半群都可以扩展为一个WLR-正规纯正群。
5.有限WLR-正规纯正群和半群是幂数有限的。
WLR-正规纯正群和半群的应用
WLR-正规纯正群和半群的应用非常广泛，包括群论、拓扑学、代数学、数学物理等多个领域。在群论中，WLR-正规纯正群和半群是很重要的对象，可以用于研究群扩展、有限群纯化、以及模算术等问题。在代数学和数学物理中，WLR-正规纯正群和半群也有广泛的应用，可以用于研究Lie代数和Lie群、超对称代数等。
结论
WLR-正规纯正群和半群是一类特殊的群和半群，具有许多有趣的性质和广泛的应用。在群论、拓扑学、代数学、数学物理等多个领域中都有重要作用。研究和探讨WLR-正规纯正群和半群的性质和应用，对于推动相关领域的研究都具有重要意义。