二次函数竞赛题教学材料.doc

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二次函数竞赛题
1．二次函数的图象的顶点为D，与x轴正方向从左至右依次交于A，B两点，与y轴正方向交于C点，若△ABD和△OBC均为等腰直角三角形（O为坐标原点），则．

2．在直角坐标系中有三点A（0，1），B（1，3），C（2，6）；已知直线上横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F.试求的值使得AD2+BE2+CF2达到最小值.

3.（2004年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）实数x、y、z满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的最大值是_______．

4.已知直线与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，那么△OAB的面积等于___________。

5.（2003年“TRULY@信利杯”全国初中数学竞赛试题）已知二次函数y=ax2+bx+c（其中a是正整数）的图象经过点A（-1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为________．

6.设抛物线的图象与x轴只有一个交点，（1）求a的值；（2）求的值.

7.通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散.学生注意力指标数y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y越大表示学生注意力越集中）.当时，图象是抛物线的一部分，当和时，图象是线段.
（1）当时，求注意力指标数y与时间x的函数关系式；
（2）一道数学竞赛题需要讲解24分钟.问老师能否经过适当安排，
使学生在听这道题时，注意力的指标数都不低于36.

8．课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．
初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：
（1）方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图a）．
若∠ACB=90°，设AC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米2，请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？
方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图b）．若∠ABC=120°，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小．
（2）假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）．

9．如图，抛物线与双曲线相交于点A，B.已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.
（1）求实数a，b，k的值；
（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满
足△EOC∽△AOB的点E的坐标.

10.如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点.
（1）请求出抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示），两点的坐标；
（2）经探究可知，与的面积比不变，试求出这个比值；
（3）是否存在使为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明
理由.

11．已知抛物线与动直线有公共点，，且.
（1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值.

12.已知，，，且，求的最小值.

13.在自变量x的取值范围59≤x≤60内，二次函数的函数值中整数的个数是()
A.59B.120C.118D.60

14.在直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B的两点.若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足，则m=_____.

15.Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（）
（A）h<1（B）h=1（C）1<h<2（D）h>2

16.设0＜k＜1，关于x的一次函数，当1≤x≤2时的最大值是（）
（A）k（B）（C）（D）

17.平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数的图象上整点的个数是（）
（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个

18.函数的最小值是．

19.对，二次函数的最小值为 （）
A. B. C. D.

20.两抛物线和与x轴交于同一点（非原点），且a、b、c为正数，a≠c，则以a、b、c为边的三角形一定是 （）
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形

21.当n=1，2，3，……，2003，2004时，二次函数的图象与x轴所截得的线段长度之和为（）
A. B. C. D.

22.已知二次函数图象如图6-2所示，则下列式子：ab，ac，a+b