高一数学竞赛培训教材(有讲解和答案)教学材料.doc

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高中思维训练班《高一数学》
第1讲-----集合与函数(上)
『本讲要点』:复杂的集合关系与运算、函数定义的深化
『重点掌握』:函数的迭代
1.定义M与P的差集为M-P={x|x∈M且x不∈P},若A={y|y=x2}B={x|-3≤x≤3},再定义M△N=（M-N)∪(N-M），求A△B
2.集合A=中,任意取出一个非空子集,计算它的各元素之和.则所有非空子集的元素之和是________.若A=,则所有子集的元素之和是.
3.已知集合,,其中,并且都是正整数.若,.且中的所有元素之和为124,求集合A、B.
*4.函数，求(本讲重点迭代法)
5.练习:定义:.已知是一次函数.当．求的解析式．(本讲重点迭代法)
*6.设f(x)定义在正整数集上，且f(1)=1,f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋xy。求f(x)(本讲重点顺序拼凑法)
『课后作业』:
7.当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)].求f（7）(本讲重点迭代法)
*8.已知f(1)=且当n＞1时有=2(n＋1)。求f(n)(n∈N+)(本讲重点顺序拼凑法)
9.求集合A=所有非空子集的元素之和
10.已知不等式ax2+bx+c＞0,的解集是{x|m＜x＜n},m＞0,求不等式cx2+bx+a＜0的解集
作业答案:7.8,8.1/n2+3n+1,9.略,10.x<1/n或x>1/m
答案:
1.【解】A{x|x≥0}B={x|-3≤x≤3}A-B={x|x＞3}B-A={x|-3≤x＜0}A△B={x|-3≤x＜0或x＞3}
2.【解】〖分析〗已知的所有的子集共有个.而对于,显然中包含的子集与集合的子集个数相等.这就说明在集合的所有子集中一共出现次,即对所有的求和,可得集合的所有子集的元素之和为
=
3.【解】,且,,又,所以
又,可得,并且或
若,即,则有解得或(舍)
此时有
若,即,此时应有,则中的所有元素之和为100124.不合题意.
综上可得,
5【解】
解：设f(x)=ax＋b(a≠0)，记f{f[f…f(x)]}=fn(x)，则

n次
f2(x)=f[f(x)]=a(ax＋b)＋b=a2x＋b(a＋1)
f3(x)=f{f[f(x)]}=a[a2x＋b(a＋1)]＋b=a3x＋b(a2＋a＋1)
依次类推有：f10(x)=a10x＋b(a9＋a8＋…＋a＋1)=a10x＋
由题设知：
a10=1024且=1023
∴a=2，b=1或a=－2，b=－3
∴f(x)=2x＋1或f(x)=－2x－3

8.解：令y=1，得f(x＋1)=f(x)＋x＋1
再依次令x=1，2，…，n－1，有
f(2)=f(1)＋2
f(3)=f(2)＋3
……
f(n－1)=f(n－2)＋(n－1)
f(n)=f(n－1)＋n
依次代入，得
f(n)=f(1)＋2＋3＋…＋(n－1)＋n=
∴f(x)=
(x∈N+)

高中思维训练班《高一数学》
第2讲-----函数(下)

『本讲要点』:1.单调函数不等式的解法2.根据抽象的函数条件拼凑出特定值的方法3.抽象函数的周期问题
*1例f(x)在x>0上为增函数,且.求:
(1)的值.
(2)若,解不等式
2例f(x)对任意实数x与y都有f(x)+f(y)=f(x+y)+2,当x>0时,f(x)>2
求证:f(x)在R上是增函数
若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3)<3
3练f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy)=f(x)+f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3)=-1.
求f(1)和f(1/9)的值
证明f(x)在x>1上是增函数
在x>1上,若不等式f(x)+f(2-x)<2成立,求x的取值范围
4例几个关于周期的常见的规律:

5练习:f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x-2)=-f(x),以下结论正确的是(多选):______________
A.f(2)=0
B.f(x)=f(x+4)
C.f(x)的图象关于直线x=0对称
D.f(x+2)=f(-x)
『课后作业』:
6定义在x>0上,当x>1时,f(x)>0;对任意的正实数x和y都有f(xy)=f(x)+f(y).
证明f(x)在x>0上为增函数
若f(5)=1,解不等式f(x+1)–f(2x)>2
*7已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－,求证f(x)是周期函数
7.当n≥10时,f(n)=n-3;当n<10时,f(n)=f[f(n+5)].求f（7）(本讲重点迭代法)
*8.已知f(1)=且当n＞1时有=2(n＋1)。求f(n)(n∈N+)(本讲重点顺序拼凑法)
9.求集合A=所有非空子集的元素之和
10.已知不等式