初中数学竞赛标准教程及练习20：代数恒等式的证明.doc

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初中数学竞赛精品标准教程及练习（20）
代数恒等式的证明
一、内容提要
证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。
具体证法一般有如下几种
1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。变形的过程中要不断注意结论的形式。
2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。
3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。即由左边－右边＝0可得左边＝右边。
4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，
二、例题
例1求证：3n+2－2n＋2＋2×5n+2＋3n－2n＝10（5n+1+3n－2n-1）
证明：左边＝2×5×5n+1＋（3n+2+3n）＋（－2n+2－2n）
＝10×5n+1＋3n(32+1)－2n-1(23＋2)
＝10（5n+1+3n－2n-1）=右边
又证：左边＝2×5n+2＋3n（32＋1）－2n(22+1)
＝2×5n+2＋10×3n－5×2n
右边＝10×5n+1+10×3n－10×2n-1
＝2×5n+2＋10×3n－5×2n
∴左边＝右边
例2己知:a+b+c=0求证：a3+b3+c3=3abc
证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1)
∵:a+b+c=0
∴a3+b3+c3－3abc＝0即a3+b3+c3=3abc
又证：∵:a+b+c=0∴a=－（b+c）
两边立方a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3）
移项a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc
再证：由己知a=－b－c代入左边,得
（－b－c）3+b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c3）+b3+c3
＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc

己知a+,a≠b≠c求证：a2b2c2=1

证明：由己知a-b=∴bc=
b-c=∴ca=同理ab=
∴abbcca＝＝1即a2b2c2=1
己知:ax2+bx+c是一个完全平方式（a,b,c是常数）求证：b2－4ac=0
证明：设:ax2+bx+c＝（mx+n）2，m,n是常数
那么:ax2+bx+c＝m2x2+2mnx+n2
根据恒等式的性质得∴:b2－4ac＝（2mn）2－4m2n2=0
三、练习20
求证：①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab
②（x+y）4+x4+y4=2(x2+xy+y2)2③(x-2y)x3－(y-2x)y3=(x+y)(x-y)3
④3n+2+5n+2―3n―5n=24(5n+3n-1)⑤a5n+an+1=(a3n－a2n+1)(a2n+an+1)
2.己知：a2+b2=2ab求证：a=b
3.己知：a+b+c=0
求证：①a3+a2c+b2c+b3=abc②a4+b4+c4=2a2b2+2b2c2+2c2a2
4.己知：a2=a+1求证：a5=5a+3
5.己知：x＋y－z=0求证：x3+8y3=z3－6xyz
6.己知：a2+b2+c2=ab+ac+bc求证：a=b=c
7.己知：a∶b=b∶c求证：（a+b+c）2+a2+b2+c2=2(a+b+c)(a+c)
8.己知：abc≠0，ab+bc=2ac求证：
9．己知：求证：x+y+z=0
10.求证：（2x－3）（2x+1）(x2－1)＋1是一个完全平方式
11己知：ax3+bx2+cx+d能被x2+p整除求证：ad=bc

练习20参考答案：
④左边＝5n(52-1)+3n－1(33-3)=24(5n+3n-1)注意右边有3n-1
左边－右边＝（a-b）2
②左边－右边＝（a2+b2-c2）2-4a2b2=……
∵a5=a2a2a,用a2=a+1代入
用z=x+2y代入右边
用已知的（左－右）×2
用b2=ac分别代入左边，右边化为同一个代数式
在已知的等式两边都除以abc
设三个比的比值为k,
(2x2-x-2)211.用待定系数法