初中数学竞赛标准教程及练习13：用枚举法解题.doc

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初中数学竞赛精品标准教程及练习（13）
用枚举法解题
一、内容提要
有一类问题的解答，可依题意一一列举，并从中找出规律。列举解答要注意：
按一定的顺序，有系统地进行；
分类列举时，要做到既不重复又不违漏；
遇到较大数字或抽象的字母，可从较小数字入手，由列举中找到规律。
二、例题1
例1如图由西向东走，
从A处到B处有几
种走法？
1
解：我们在交叉路上有顺序地标上不同走法的数目，例如从A到C有三种走法，在C处标上3，从A到M（N）有3＋1＝4种，从A到P有3＋4＋4＝11种，这样逐步累计到B，可得1＋1＋11＝13（种走法）
写出由字母X，Y，Z中的一个或几个组成的非同类项（系数为1）的所有四次单项式。
解法一：按X4，X3，X2，X，以及不含X的项的顺序列出（如左）
解法二：按X→Y→Z→X的顺序轮换写出（如右）
X4，X4，Y4，Z4
X3Y，X3Z，X3Y，Y3Z，Z3X
X2Y2，X2Z2，X2YZ，X3Z，Y3X，Z3Y
XY3，XZ3，XY2Z，XYZ2，X2Y2，Y2Z2，Z2X2
Y4，Z4Y3Z，Y2Z2，YZ3。X2YZ，Y2ZX，Z2XY
解法三：还可按3个字母，2个字母，1个字母的顺序轮换写出(略)
讨论不等式ax<b的解集。
解：把a、b、c都以正、负、零三种不同取值，组合成九种情况列表
ax<0的解集b正负零a正负零当a>0时，解集是x<,当a<0时，解集是x>,
当a=0,b>0时，解集是所有学过的数，
当a=0,b≤0时，解集是空集(即无解)
例4如图把等边三角形各边4等分，分别连结对应点，试计算图中所有的三角形个数
解：设原等边三角形边长为4个单位，则最小的等边三角形边长是1个单位，
再按顶点在上△和顶点在下▽两种情况，逐一统计：
边长1单位，顶点在上的△有：1+2+3+4=10
边长1单位，顶点在下的▽有：1+2+3=6
边长2单位，顶点在上的△有：1+2+3=6
边长2单位，顶点在下的▽有：1
边长3单位，顶点在上的△有：1+2=3
边长4单位，顶点在上的△有：1
合计共27个

三、练习13
己知x，y都是整数，且xy=6，那么适合等式解共___个，它们是＿＿＿
a+b=37,适合等式的非负整数解共___组，它们是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
xyz=6,写出所有的正整数解有：＿＿＿＿＿
如图线段AF上有B，C，D，E四点,试分别写出以A，B，C，D，E为一端且不重复的所有线段，并统计总条数。

ABCDEF
5.写出以a,b,c中的一个或几个字母组成的非同类项（系数为1）的所有三次单项式。
除以4余1两位数共有几个？
从1到10这十个自然数中每次取两个，其和要大于10，共有几种不同取法？
8.把边长等于4的正方形各边4等分，連结各对应点成16个小正方形，试用枚举法，计算共有几个正方形？如果改为5等分呢？10等分呢？
9.右图是街道的一部分，纵横各有5条路，如果从
A到B(只能从北向南，从西向东)，有几种走法？
10.列表讨论不等式ax>b的解集.
11.一个正整数加上3是5的倍数，减去3是6的倍数，
则这个正整数的最小值是＿＿

三、练习13参考答案：
1.8组2.18组3.9组4.15条5.10个
6.22个（从13，17，…97）
7.25种
8.1＋22＋32＋42＝30个，55个，385个
9.70种
当a>0时，x<；当a<0时，x>；
当a=0,b≥0时，无解；当a=0,b<0时，有无数多个解。
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