初中数学竞赛标准教程及练习10：二元一次方程的整数解.doc

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初中数学竞赛精品标准教程及练习（10）
二元一次方程的整数解
一、内容提要
二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，
若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即
如果（a,b）|c则方程ax+by=c有整数解
显然a,b互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1,5x-2y=7,9x+3y=6都有整数解。
返过来也成立，方程9x+3y=10和4x-2y=1都没有整数解，
∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。
一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。
二元一次方程整数解的求法：
若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。
方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解
解：x==(1),
设是整数），则y=1-5k(2),
把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2
∴原方程所有的整数解是（k是整数）
方法二，公式法：
设ax+by=c有整数解则通解是（x0,y0可用观察法）
求二元一次方程的正整数解：
出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值
用观察法直接写出。
二、例题
例1求方程5x－9y=18整数解的能通解
解x=
设（k为整数），y=3－5k,代入得x=9－9k
∴原方程整数解是（k为整数）
又解：当x=o时，y=－2，
∴方程有一个整数解它的通解是（k为整数）
从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。
例2，求方程5x+6y=100的正整数解
解：x=(1)，
设(k为整数)，则y=5k,(2)
把（2）代入（1）得x=20-6k，
∵解不等式组
得0＜k<,k的整数解是1，2，3，
∴正整数解是
例3，甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？
解：设甲种书买x本，乙种书买y本，根据题意得
3x+5y=38（x,y都是正整数）
∵x＝1时，y=7，∴是一个整数解
∴通解是（k为整数）
解不等式组得解集是∴整数k=0，1，2
把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整数解
答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本。
三、练习10
求下列方程的整数解
①公式法：x+7y=4,5x-11y=3
②整除法：3x+10y=1,11x+3y=4
2,求方程的正整数解：①5x+7y=87,②5x+3y=110
3，一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？
兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。
下列方程中没有整数解的是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿（填编号）
4x＋2y=11,②10x-5y=70,③9x+3y=111,
④18x-9y=98,⑤91x-13y=169,⑥120x+121y=324.
6,一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分？
7．用观察法写出方程3x+7y=1几组整数解：
y=14－2x=
三、练习10参考答案：公式法①由特解得通解（k为整数）
②由特解得通解（为k整数）
整除法①∵x==-3y,……∴通解是（k为整数）
②通解是（k为整数）
2.①②－……
3.有6种截法
4.16，135.A，D.6.127.（略）