初一奥数第4讲相交线、平行线.doc

初一数学竞赛系列讲座(4)
相交线、平行线

一、知识要点：
平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：相交和平行。
两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。即，两条直线相交有且只有一个交点。
垂直是相交的特殊情况。有关两直线垂直，有两个重要的结论：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。
在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。平行线中要理解平行公理，能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理。
利用平行公理及其推论证明或求解。

二、例题精讲
例1．如图(1)，直线a与b平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,
求∠3的度数。
解：∵a∥b，
∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）
∵∠1+∠3＝∠2+∠4＝180°(平角的定义)
∴∠1＝∠2(等式性质)
则3x+70＝5x+22解得x=24
即∠1＝142°
∴∠3＝180°-∠1＝38°图(1)
评注：建立角度之间的关系，即建立方程（组），是几何计算常用的方法。

例2．已知：如图(2)，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，
∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数。
解：∵AB∥EF∥CD
∴∠B=∠BEF，∠DEF=∠D（两直线平行，内错角相等）
∵∠B+∠BED+∠D=192°（已知）
即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192°
∴2（∠B+∠D）=192°（等量代换）
则∠B+∠D=96°（等式性质）
∵∠B-∠D=24°（已知）图(2)
∴∠B=60°（等式性质）
即∠BEF=60°（等量代换）
∵EG平分∠BEF（已知）
∴∠GEF=∠BEF=30°（角平分线定义）

例3．如图（3），已知AB∥CD，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB的度数。
解：过E作EF∥AB
∵AB∥CD（已知）
∴EF∥CD（平行公理）
∴∠BEF=∠B=40°∠DEF=∠D=70°（两直线平行，内错角相等）
∵∠DEB=∠DEF-∠BEF
∴∠DEB=∠D-∠B=30°
评注：证明或解有关直线平行的问题时，如果不构成“三线八角”，则应添出辅助线。图（3）

例4．已知锐角三角形ABC的三边长为a，b，c，而ha，hb，hc分别为对应边上的高线长，
求证：ha+hb+hc＜a+b+c
分析：对应边上的高看作垂线段，而邻边看作斜线段
证明：由垂线段最短知，ha＜c，hb＜a，hc＜b
以上三式相加得ha+hb+hc＜a+b+c
研究垂直关系应掌握好垂线的性质。
以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。
垂线段最短。

例5．如图（4），直线AB与CD相交于O，EFAB于F，GHCD于H，
求证EF与GH必相交。
分析：欲证EF与GH相交，直接证很困难，可考虑用反证法。
证明：假设EF与GH不相交。
∵EF、GH是两条不同的直线
∴EF∥GH
∵EFAB
∴GHAB
又因GHCD故AB∥CD(垂直于同一直线的两直线平行)图（4）
这与已知AB和CD相交矛盾。
所以EF与GH不平行，即EF与GH必相交
评注：本题应用结论：
(1)垂直于同一条直线的两直线平行。
(2)两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线，那么另一条直线也平行于第三条直线；

例6．平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？
解：2条直线产生1个交点，
第3条直线与前面2条均相交，增加2个交点，这时平面上3条直线共有1+2=3个交点；
第4条直线与前面3条均相交，增加3个交点，这时平面上4条直线共有1+2+3=6个交点；
…
则n条直线共有交点个数：1+2+3+…+(n-1)=n(n-1)
评注：此题是平面上n条直线交点个数最多的情形，需要仔细观察，由简及繁，深入思考，从中发现规律。
例7．6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？
解：6条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15条直线，除去共线的3点中重合多算的2条直线，即能确定的直线为15-2=13条。
另法：3点所在的直线外的3点间最多能确定3条直线，这3点与直线上的3点最多有3×3=9条直线，加上3点所在的直线共有：3+9+1=13条
评注：一般地，平面上n个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+…+(n-1)=n(n-1)

例8．10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？

解：2条直线最多将平面分成2+2=4个不同区域；
3条直线中的第3条直线与另两条直线相交，最多有两个交点，此直线被这两点分成3段，每一段将它所在的区域一分为二，则区域增加3个，即最多分成2+2+3=7个不同区域；
同理：4