初中数学竞赛标准教程及练习18：式的整除.doc

中考数学复习资料，精心整编吐血推荐,如若有用请打赏支持，感激不尽！
初中数学竞赛精品标准教程及练习（18）
式的整除
一、内容提要
定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。
根据被除式＝除式×商式＋余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x的整式，
那么式的整除的意义可以表示为：
若f(x)＝p(x)×q(x)，则称f(x)能被p(x)和q(x)整除
例如∵x2－3x－4＝（x－4）（x+1）,
∴x2－3x－4能被（x－4）和（x+1）整除。
显然当x=4或x=－1时x2－3x－4＝0，
一般地，若整式f(x)含有x–a的因式，则f(a)=0
反过来也成立，若f(a)=0,则x－a能整除f(x)。
在二次三项式中
若x2+px+q=(x+a)(x+b)＝x2+(a+b)x+ab则p=a+b,q=ab
在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。
二、例题
例1己知x2－5x+m能被x－2整除，求m的值。x－3
解法一：列竖式做除法（如右）x－2x2－5x+m
由余式m－6＝0得m=6x2－2x
解法二：∵x2－5x+m含有x－2的因式－3x+m
∴以x=2代入x2－5x+m得－3x+6
22－5×2＋m=0得m=6m－6
解法三：设x2－5x+m除以x－2的商是x+a(a为待定系数)
那么x2－5x+m＝(x+a)(x－2)＝x2+(a-2)x－2a
根据左右两边同类项的系数相等，得
解得（本题解法叫待定系数法）
己知:x4－5x3+11x2+mx+n能被x2－2x+1整除
求：m、n的值及商式
解：∵被除式＝除式×商式（整除时余式为0）
∴商式可设为x2+ax+b
得x4－5x3+11x2+mx+n＝（x2－2x+1）（x2+ax+b）
＝x4+(a-2)x3+(b+1-2a)x2+(a-2b)x+b
根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得
解得
∴m=－11,n=4,商式是x2－3x+4
m取什么值时，x3+y3+z3+mxyz(xyz≠0)能被x+y+z整除?
解：当x3+y3+z3+mxyz能被x+y+z整除时，它含有x+y+z因式
令x+y+z＝0，得x=－（y+z），代入原式其值必为0
即［－（y+z）］3+y3+z3－myz(y+z)=0
把左边因式分解，得－yz(y+z)(m+3)=0,
∵yz≠0,∴当y+z=0或m+3=0时等式成立
∴当x,y（或y,z或x,z）互为相反数时，m可取任何值，
当m=－3时，x,y,z不论取什么值，原式都能被x+y+z整除。
例4分解因式x3－x+6
分析：为获得一次因式，可用x=±1，±2，±3，±6（常数项6的约数）代入原式求值，只有x=－2时值为0，可知有因式x＋2，（以下可仿例1）
解：x3－x+6＝（x＋2）（x2－2x+3）
三、练习18
若x3+2x2+mx+10=x3+nx2－4x+10,则m=___,n=___
x3－4x2+3x+32除以x+2的余式是＿＿＿，
x4－x2+1除以x2－x－2的余式是＿＿＿
己知x3+mx+4能被x+1整除，求m
己知x4+ax3+bx－16含有两个因式x－1和x–2,求a和b的值
己知13x3+mx2+11x+n能被13x2－6x+5整除,求m、n及商式
己知ab≠0,m取什么值时，a3－6a2b+mab2-8b3有因式a－2b.
分解因式：①x3-7x+6,②x3-3x2+4,③x3-10x-3
8.选择题
①x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解的结果是（）
(A)(x+y)(y-z)(x-z)(B)(x+y)(y+z)(x-z)
(c)(x-y)(y-z)(x+z)(D)(x-y)(y+z)(x+z)
②n3+p能被n+q整除(n,p,q都是正整数)，对于下列各组的p,q值能使n的值为最大的是（）
p=100,q=10(B)p=5000,q=20(C)p=50,q=12,(D)p=300,q=15.

练习18参考答案：
1.–4，22.2；4x+53.3
4.5.商式x-1
6.127.①(x-1)(x-2)(x+3),②(x-2)2(x+1),③(x+3)(x2-3x-1)
8.①(A)②(D)