初中数学竞赛标准教程及练习34：反证法.doc

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初中数学竞赛精品标准教程及练习（34）
反证法
一、内容提要
反证法是一种间接的证明方法。它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。
一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：A→B
例如原命题：对顶角相等(真命题)
逆否命题：不相等的角不可能是对顶角(真命题)
又如原命题：同位角相等，两直线平行(真命题)
逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等(真命题)
用反证法证明命题，一般有三个步骤：
反设假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立）
归谬推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾）
结论从而得出命题结论正确
例如：求证两直线平行。用反证法证明时
假设这两直线不平行；
从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③从而肯定，非平行不可。
二、例题
例1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行
已知：如图∠1＝∠2A1B
求证：AB∥CD
证明：设AB与CD不平行C2D
那么它们必相交，设交点为MD
这时，∠1是△GHM的外角A1MB
∴∠1＞∠2G
这与已知条件相矛盾2
∴AB与CD不平行的假设不能成立H
∴AB∥CDC
例2.求证两条直线相交只有一个交点
证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。
（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步——推出矛盾。但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。
例3.已知：m2是3的倍数，求证：m也是3的倍数
证明：设m不是3的倍数，那么有两种情况：
m=3k+1或m=3k+2(k是整数)
当m=3k+1时，m2＝（3k+1）2＝9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1
当m=3k+2时，m2＝（3k+2）2＝9k2＋12k+4=3(3k2+4k+1)+1
即不论哪一种，都推出m2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。
∴m2是3的倍数时，m也是3的倍数
例4.求证：不是有理数
证明：假设是有理数，那么＝（a,b是互质的整数），
∵=,∴（）2＝2，a2=2b2,∴a2是偶数，
∵a2是偶数，∴a也是偶数，
设a=2k（k是整数）,a2=4k2,
∵由a2=2b2,得b2=a2=2k2,b2是偶数，∴b也是偶数
那么a、b都是偶数，这和“a,b是互质数”的条件相矛盾，故假设不能成立
∴不是有理数
例5.若n是正整数，则分数是既约分数（即最简分数，分子与分母没有公约数）
证明：设不是既约分数，那么它的分子、分母有公约数，设公约数为k（k≠1）,且k,a,b都是正整数，即
∴＝，3bk-2ak=1,(3b-2a)k=1
∵整数的和、差、积仍是整数，且只有乘数和被乘数都是±1时，积才能等于1∴3b-2a=±1,k=±1
∴分子、分母有公约数的假设不能成立
因此分数是既约分数
三、练习34
1.写出下列各命题结论的反面：
命题的结论结论的反面①直线a∥b②线段m=n③a2是偶数④∠A是锐角⑤点A在⊙O上⑥∠A，∠B，∠C至少有1个
大于或等于60⑦正整数m是5的倍数⑧方程没有有理数根⑨至少有一个方程两根不相等2.已知：平面内三个点A，B，C满足AB＋BC＝AC，
求证：A，B，C三点在同一直线上
3.求证：等腰三角形的底角是锐角
求证：一个圆的圆心只有一个
求证：三角形至少有一个内角大于或等于60度
如果a2奇数，那么a也是奇数（仿例3）
求证：没有一个有理数的平方等于3(仿例4)
已知a,b,c都是正整数，且a2+b2=c2(即a,b,c是勾股数)
求证①a,b,c至少有一个偶数
a,b,c中至少有一个能被3整除
9.求证二元一次方程8x+15y=50没有正整数解
10.求证方程x2+y2=1991没有整数解
11.把1600粒花生分给100只猴子，至少有4只猴子分得的花生一样多
12.已知：四边形ABCD中，AB+BD≤AC+CD求证：AB<AC
13.已知：抛物线y=x2－(m－3)x－m
求证：m不论取什么值，抛物线与x轴的两个交点，不可能都落在正半轴上
14.若a,b,c都是奇数，则方程ax2+bx+c=0没有有理数根
15平面内7个点，它们之间的距离都不相等，求证不存在6个点到第7个点的距离都小于这6个点彼此之间的距离
16.已知：a,b,c为实数，a=b+c+1求证：两个方程：x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根

练习34参考答案：
1.①a和b相交②m>n或m<n④∠A是直角或钝角
⑤点A在⊙O外或在⊙O内⑥∠A，∠B，∠C都小于60
⑦m=5k