初中数学竞赛标准教程及练习40：线段、角的和差倍分.doc

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初中数学竞赛精品标准教程及练习（40）
线段、角的和差倍分
一、内容提要
证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段或角的相等关系；一是用代数恒等式的证明方法。
转化为证明相等的一般方法
㈠通过作图转化
要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长补短法）
⑴分解法――把大量分成两部分，证它们分别等于两个小量
⑵合成法――作出两个小量的和，证它与大量相等
要证明一线段（角）等于另一线段（角）的2倍
⑴折半法――作出大量的一半，证它与小量相等
⑵加倍法――作出小量的2倍，证它与大量相等
㈡应用有关定理转化
三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于两底和的一半
直角三角形斜边中线等于斜边的一半
直角三角形中，含30度的角所对的直角边等于斜边的一半
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和
等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍
三角形的重心（各中线的交点）分中线为2∶1
有关比例线段定理
用代数恒等式的证明
由左证到右或由右证到左
左右两边分别化简为同一个第三式
证明左边减去右边的差为零
由已知的等式出发，通过恒等变形，到达求证的结论
二、例题
例1.已知：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高
求证：DC＝AB＋BD
分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB，BD相等。
可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE，再证EC＝AE。
∵∠AEB＝∠B＝2∠C且∠AEB＝∠C＋∠EAC，∴∠EAC＝∠C
辅助线是在DC上取DE＝DB，连结AE。
分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。
仍然以高AD为轴，作出DC的对称线段DF。
为便于证明，辅助线用延长DB到F，使BF＝AB，连结AF，则可得
∠ABD＝2∠F＝2∠C。

例2.已知：△ABC中，两条高AD和BE相交于H，两条边BC和AC的中垂线相交于O，垂足是M，N
求证：AH＝2MO，BH＝2NO
证明一：（加倍法――作出OM，ON的2倍）
连结并延长CO到G使OG＝CO连结AG，BG
则BG∥OM，BG＝2MO，AG∥ON，AG＝2NO
∴四边形AGBH是平行四边形，
∴AH＝BG＝2MO，BH＝AG＝2NO
证明二：（折半法――作出AH，BH的一半）
分别取AH，BH的中点F，G连结FG，MN
则FG＝MN＝AB，FG∥MN∥AB
又∵OM∥AD，
∴∠OMN＝∠HGF（两边分别平行的两锐角相等）
同理∠ONM＝∠HFG∴△OMN≌△HFG……
例3.已知：在正方形ABCD中，点E在AB上且CE＝AD＋AE，F是AB的中点
求证：∠DCE＝2∠BCF
分析：本题显然应着重考虑如何发挥CE＝AD＋AE条件的作用，如果只想用加倍法或折半法，则脱离题设的条件，难以见效。
我们可将AE（它的等量DG）加在正方形边CD的延长线上（如左图）也可以把正方形的边CD（它的等量AG）加在AE的延长线上（如右图）后一种想法更容易些。
辅助线如图，证明（略）自己完成

例4.已知：△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于I，
求证：∠BIC＝90＋∠A
证明一：（由左到右）
∠BIC＝180－（∠1＋∠2）＝180－（∠ABC＋∠ACB）
＝180－（∠ABC＋∠ACB＋∠A）＋∠A
＝90＋∠A
证明二：（左边－右边＝0）
∠BIC－（90＋∠A）
＝180－（∠ABC＋∠ACB）－90－∠A
＝90－（∠ABC＋∠ACB＋∠A）＝……
证明三：（从已知的等式出发，进行恒等变形）
∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180∴∠A＝180－（∠ABC＋∠ACB）
∠A＝90－（∠ABC＋∠ACB）
90＋∠A＝180－（∠ABC＋∠ACB），即∠BIC＝90＋∠A
三、练习40
△ABC中，∠B＝2∠C，AD是角平分线，求证：AC＝AB＋BD
△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高，M是BC的中点，则AB＝2DM
△ABC中，∠B的平分线和∠C的外角平分线交于E，则∠A＝2∠E
△ABC的AB＝AC，CD是中线，延长AB到E使BE＝AB，连结EC，则CE＝2CD
已知：等腰直角三角形ABC中，∠A＝Rt∠，BD是角平分线
求证：BC＝AB＋AD
已知：△ABC中，AB＜AC，AD是高，AE是角平分线
求证：∠DAE＝（∠B＋∠C）
已知：△ABC中，AB＝AC，点D在AC的延长线上，
求证：∠CBD＝（∠ABD－∠D）
已知：AD是△ABC的中线，E是AD的中点，BE延长线交AC于F
求证：BF＝4EF
已知：在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，AF平分∠DAE，交CD于F
求证：AE＝BE＋DF
在△ABC中，∠BAC＝Rt∠，BC的中垂线MN交AB于M，交BC于N