初中数学竞赛标准教程及练习29：概念的定义.doc

中考数学复习资料，精心整编吐血推荐,如若有用请打赏支持，感激不尽！
初中数学竞赛精品标准教程及练习(29)
概念的定义
一、内容提要和例题
概念是反映事物本质属性的思维形态。概念是用词(或符号)表现出来的。例如：水果，人，上午，方程，直线，三角形，平行，相等以及符号=≌，∥，⊥等等都是概念。
概念是概括事物的本质，事物的全体，事物的内在联系。例如水果这一概念指的是桃，李，苹果，……这一类食物的全体，它们共同的本质属性是有丰富的营养，充足的水份，可食的植物果实，而区别于其他食物(如蔬菜)。
人们在生活，学习，工作中时时接触概念，不断地学习概念，加深对概念的正确认识，同时运用概念进行工作，学习和生活，
正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。
理解概念就是对名词，符号的含义的正确认识，一般包含两个方面：
明确概念所反映的事物的共同本质属性，即概念的内涵；
明确概念所指的一切对象的范围，即概念的外延。
例如“代数式”这一概念的内涵是：用运算符号连结数或表示数的字母的式子；概念的外延是一切具体的代数式――单项式，多项式，分式，有理式，根式，无理式。
又如“三角形”的概念内涵是三条线段首尾顺次相接的封闭图形；它的外延是不等边三角形，等腰三角形，等边三角形，直角三角形，钝角三角形，锐角三角形等一切三角形。
就是说要正确理解名词或符号所反映的“质”的特征和“量”的范围。
一般情况是，对概念下定义，以明确概念的内涵；把概念分类，可明确概念的外延。
概念的定义就是用语句说明概念的含义，揭示概念的本质属性。
数学概念的基本定义方式是种属定义法。
在两个从属关系的概念中（如三角形与等腰三角形），外延宽的一个叫上位概念，也叫种概念，（如三角形），外延窄的一个叫下位概念，也叫属概念（如等腰三角形）
种属定义法可表示为：被定义的概念＝种概念＋类征（或叫属差）
例如：方程＝等式＋含未知数
又如：无理数＝小数＋无限不循环
或无理数＝无限小数＋不循环
再如等腰三角形＝三角形＋有两条边相等
基本概念（即原始概念）是不下定义的概念，因为种属定义法，要用已定义过的上位概念来定义新概念，如果逐一追溯上去，必有最前面的概念是不下定义的概念。如点，线，集合等都是基本概念。
不定义的基本概念一般用描述法，揭示它的本质属性。
例如：几何中的“点”是这样描述的：线与线相交于点。点只表示位置，没有大小，不可再分。“直线”我们用“拉紧的线”和“纸张的折痕”来描述它的“直”，再用“直线是向两方无限延伸的”以说明它的“无限长”的本质属性。
有了点和直线的概念，才能顺利地定义射线，线段，角，三角形等。
概念的定义也可用外延法。即列举概念的全部外延，以揭示概念的内涵。
例如：单项式和多项式统称整式；锐角三角形和钝角三角形合称斜三角形等都是外延定义法。
对同一个概念有时可用几种不同的定义法。例如：“有理数”可定义为
有限小数和无限循环小数叫做有理数。②整数和分数统称有理数。
前者是用上位概念“小数”加上类征“有限，无限循环”来定义下位概念的，这是种属定义法；后者是用下位概念的“整数”、“分数”来定义上位概念的，它是外延法。
正确的概念定义，要遵守几条规则。
①不能循环定义。例如周角的360分之1叫做1度的角（对），360度的角叫做周角（错，这是循环定义）
定义概念的外延与被定义的概念的外延必须一致。例如若用“无限小数叫做无理数”来定义无理数就不对了，因为“无限小数”的外延比“无理数”的外延宽。
定义用语要简单明确，不要含混不清。
一般不用否定语句或比喻方法定义。
定义可以反叙。一般地，定义既是判定又是性质。
例如：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。这里“等腰三角形“是被定义的概念，而“有两边相等的三角形”是用来定义的概念，这两个概念的外延是相等的，所以两者可易位，即定义可反叙。
所以由定义可得
等腰三角形的判定：如果三角形有两条边相等，那么它是等腰三角形。
等腰三角形的性质：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两条边相等。
数学概念要尽可能地用数学符号表示。
例如：等腰三角形，要结合图形写出两边相等，在△ABC中，AB＝AC
直角三角形，要写出哪个是直角，在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠
又如实数a的绝对值是非负数，记作≥0，“≥”读作大于或等于。
运用定义解题是最本质的解题方法
例如：绝对值的定义，可转化为数学式子表示＝
含有绝对值符号的所有问题都可以根据其定义，化去绝对值符号后解答。
如：化简：可等于
解方程：＝2x+1可化为当x<-1时，－（x+1）=2x+1；
当x≥－1时，x+1=2x+1。
解不等式＜2可解两个不等式组：

二、练习29
叙述下列各概念（名词）的定义，并画出图形，用数学符号表示：
①算术平方根②开平方③三角形的高
④线段的中垂线⑤点到直线的距离⑥两点的距离