初中数学竞赛标准教程及练习33：同一法.doc

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初中数学竞赛精品标准教程及练习（33）
同一法
一、内容提要
1.“同一法”是一种间接的证明方法。它是根据符合“同一法则”的两个互逆命题必等效的原理，当一个命题不易证明时，釆取证明它的逆命题。
2.同一法则的定义是：如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时，那么它和它的逆命题同时有效。这称为同一法则。
互逆两个命题一般是不等价的。例如
原命题：福建是中国的一个省（真命题）
逆命题：中国的一个省是福建（假命题）
但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，则它们是等效的。例如
原命题：中国的首都是北京（真命题）
逆命题：北京是中国的首都（真命题）
因为世界上只有一个中国，而且中国只有一个首都，所以互逆的两个命题是等效的。又如
原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高。（真命题）
逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线。（真命题）
因为在等腰三角形这一前提下，顶角平分线和底边上的高都是唯一的，所以互逆的两个命题是等效的。
3.釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有困难，而它与逆命题符合同一法则，则可釆用同一法，证明它的逆命题，其步骤是：
作出符合命题结论的图形（即假设命题的结论成立）
证明这一图形与命题题设相同（即证明它符合原题设）
二、例题
求证三角形的三条中线相交于一点
已知：△ABC中，AD，BE，CF都是中线
求证：AD，BE，CF相交于同一点
分析：在证明AD和BE相交于点G之后，本应再证明CF经过点G，这要证明三点共线，直接证明不易，我们釆用同一法：连结并延长CG交AB于F，，证明CF，就是第三条中线（即证明AF，＝F，B）
证明：∵∠DAB＋∠EBA＜180
∴AD和BE相交，设交点为G
连结并延长CG交AB于F，
连结DE交CF，于M
∵DE∥AB
∴＝＝，即＝
＝＝，即＝
∴＝，∴AF，＝BF，，AF，是BC边上的中线，
∵BC边上的中线只有一条，∴AF，和AD是同一条中线
∴AD，BE，CF相交于一点G。
例2.已知：△ABC中，D在BC上，AB2－AC2＝BD2－DC2
求证：AD是△ABC的高
分析：从题设AB2－AC2＝BD2－DC2证明结论不易，因为BC边上的高是唯一的，所以拟用同一法，先作出AE⊥BC，证明在题设的条件下AE就是AD。
证明：作AE⊥BC交BC于EA
根据勾股定理
AB2－AC2＝（AE2＋BE2）－（AE2＋EC2）
＝BE2－EC2
∵AB2－AC2＝BD2－DC2BEDC
∴BD2－DC2＝BE2－EC2
（BD＋DC）（BD－DC）＝（BE＋EC）（BE－EC）
∴BD－DC＝BE－EC①
BD＋DC＝BE＋EC②
①＋②：2BD＝2BE
即点D和点E重合，即AD是△ABC的高
例3如图已知：四边形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝15
∠CBD＝45，∠CDB＝30
求证：△ABC是等边三角形
证明：在BC或延长线上取点E，使BE＝AB
连结AE，DE，则△ABE是等边三角形
AE＝AB＝AD，∠EAD＝150－60＝90，∴∠ADE＝45
∵∠ADC＝45，且DE，DC在DA的同一侧，
∴DE和DC重合，它们与BC边的交点E，C也重合
∴△ABC是等边三角形

例4.求证：＝1
分析：直接证法，一般是把左边写成再化简为1，但没有成功。拟用同一法，可认为要证明的
原命题是：有两个数，，它们积是－1，则它们的和是1
那么逆命题是：若u+v=1,且uv=－1，则u=,v=
证明：设u+v=1,且uv=－1，根据韦达定理的逆定理（初三教材）
得u,v是方程x2－x－1＝0的两个根
x=,即u,v分别等于，
而u3=（）3＝2＋，v3=（）3＝2－
∴u=,v=
即＝1
例5.已知：ACD是圆的割线，点B在圆上，且AB2＝AC×AD
求证：AB是圆的切线
证明：过点B作圆的切线，交DC于A1，
则∠CBA1＝∠D
由已知AB2＝AC×AD，则＝，∠A＝∠A
∴△ACB∽△ABD
∴∠CBA＝∠D，
∠CBA1＝∠CBA
∴BA和BA1重合，它们与DC的交点是同一个点
即AB是圆的切线。
例6.以△ABC的三个顶点为圆心，作三个圆两两外切，切点分别是D，E，F，那么过D，E，F的圆是△ABC的内切圆。
分析：用同一法证明，作出△ABC的内切圆，再证明三个切点和
D，E，F重合

证明：作△ABC的内切圆和AB，BC，CA分别切于D，，E，，F，
根据切线长定理，得
AD，＝AF，＝，BE，＝BD，＝，CF，＝CE，＝
设⊙A,⊙B，⊙C半径长分别为x,y,z
,解得，x=,y=,z=
∴AD，＝AD，BE，＝BE，CF，＝CF
即D，与D，E，与E，F，与F重合。
∴△ABC的内切圆和各边切于D，E，F
即过D