初中数学竞赛标准教程及练习27：识图.doc

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初中数学竞赛精品标准教程及练习（27）
识图
一、内容提要
1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。
2.几何图形就是点，线，面，体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。
3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体，要靠正确的想像
点：只表示位置，没有大小，不可再分。
线：只有长短，没有粗细。线是由无数多点组成的，即“点动成线”。
面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线组成的，“线动成面”。
4.因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。
识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。
二、例题
例1.数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几全等三角形？丁图中有几对等边三角形？

解：甲图中有10个角：∠AOB,∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD,∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线，则少一个∠AOC，余类推。
乙图中有5个等腰三角形：△ABC，△ABD，△BDC，△BDE，△DEC
丙图中有全等三角形4对：(设AC和DB相交于O)
△AOB≌△COD，△AOD≌△BOC，△ABC≌△CDA，△BCD≌△DAB。

丁图中共有等边三角形48个：
边长1个单位：顶点在上▲的个数有1＋2＋3＋4＋5＝15
顶点在下▼的个数有1＋2＋3＋4＝10
边长2个单位：顶点在上▲的个数有1＋2＋3＋4＝10
顶点在下▼的个数有1＋2＝3
边长3个单位：顶点在上▲的个数有1＋2＋3＝6
边长4个单位：顶点在上▲的个数有1＋2＝3
边长5个单位：顶点在上▲的个数有1
以上要注意数一数的规律
例2.设平面内有6个点A1，A2，A3，A4，A5，A6，其中任意3个点都不在同一直线上，如果每两点都连成一条线，那么共有线段几条？如果要使图形不出现有4个点的两两连线，那么最多可连成几条线段？试画出图形。
解：从点A1与其他5点连线有5条，从点A2与其他4点（A1除外）连线有4条，从A3与其他3点连线有3条（A1，A2除外）……以此类推，6个点两两连线共有线段1＋2＋3＋4＋5＝15（条），或用每点都与其他5点连线共5×6再除以2（因重复计算）。
要使图形不出现有4个点的两两连线，那么每点只能与其他4个点连线，共有（6×4）÷2＝12（条）如下图：其中有3对点不连线：A1A4，A2A5，A3A6A5A4

A6A3
A1A2
例3.如图水平线与铅垂线相交于O，某甲沿水平线，某乙铅垂线同时匀速前进，当甲在O点时，乙离点O为500米，2分钟后，甲、乙离点O相等；又过8分钟，甲、乙再次离点O相等。求甲和乙的速度比。
解：如图设甲0，乙0为开始位置，甲1，乙1为前进2分钟后位置，甲2，乙2
乙2为再前进8分钟的位置。再设甲，乙的速度分别为每分钟x,y
米，根据题意得

甲O甲1甲2解得12x=8y

乙1∴x∶y=2∶3

乙0答甲和乙的速度比是2比3。

例4.在三角形内（不在边上）有3个点，连同原三角形三个顶点，共6个点，以这6个点为顶点，作出所有不重迭的三角形共有几个？

解：如图△ABC中一个点D，与A，B，C各点连结可得3个不重迭的三角形；再增加1个点E，这时可连结不重迭的三角形共5个，再增加1个点F，又可增加2个不重迭的三角形，共有7个。
一般规律是每增加1个点，可增加不重迭的三角形2个
AAA
F
DEE
BCDD
BCBC
三、练习27
数一数：甲图中有直角三角形＿＿个，乙图中有等腰直角三角＿＿个，丙图中有全等三角形＿＿对。
ADDCA
ED

CEBAB
甲乙B丙C
平面上有5个点A，B，C，D，E，其中A，B，C三点在同一直线上，那么以这5个点为端点的线段共有＿＿＿条，记作_____＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
以O为端点画6条射线OA，OB，OC，OD，OE,OF,那么可组成的角（小于平角）最多是＿＿个，最少是＿＿＿个，试分别画出草图。
在三角形内有n个点（n为整数）与原三角形3个顶点共n＋3个点，以这些点为顶点可连成不重迭的三角形最多有＿＿＿＿个。
5.下图中三角形＿＿＿个其中等腰三角形＿＿个，直角三角形＿＿＿个，
全等的等腰三角形＿＿组，每组＿＿个，
全等的直角三角形＿＿＿组，每组＿＿个。

如图长方形ABCD中，E，F，G分别在边
BC，CD，DA上，以A为一个顶点，其