初中数学竞赛标准教程及练习24：连续正整数的性质.doc

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初中数学竞赛精品标准教程及练习（24）
连续正整数的性质
一、内容提要
一.两个连续正整数
1.两个连续正整数一定是互质的，其商是既约分数。
2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。
3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。
4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如3＝1＋2，79＝39＋40，111＝55＋56。
二.计算连续正整数的个数
例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是99999－10000＋1＝90000（个）
1.n位数的个数一般可表示为9×10n-1(n为正整数，100＝1)
例如一位正整数从1到9共9个（9×100），
二位数从10到99共90个（9×101）
三位数从100到999共900个（9×102）……
2.连续正整数从n到m的个数是m－n+1
把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算，举例如下：
3.从13到49的连续奇数的个数是＋1＝19
从13到49的连续偶数的个数是＋1＝18
从13到49能被3整除的正整数的个数是＋1＝12
从13到49的正整数中除以3余1的个数是＋1＝13
你能从中找到计算规律吗？
三.计算连续正整数的和
1＋2＋3＋……＋n＝（1＋n）（n是正整数）
连续正整数从a到b的和记作(a+b)
把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和，举例如下：
11＋13＋15＋…＋55＝（11＋55）×＝759（∵从11到55有奇数＋1＝23个）
11＋14＋17＋…＋53＝（11＋53）×＝480（∵从11到53正整数中除以3余2的数的个数共＋1＝15）
四.计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和
123456789各数位上的数字和是（0＋9）＋（1＋8）＋…＋（4＋5）
＝9×5＝45
1234…99100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98），
（2，97）…（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1
∴各数位上的数字和是18×50＋1＝901
五.连续正整数的积
从1开始的n个正整数的积1×2×3×…×n记作n！，读作n的阶乘
n个连续正整数的积能被n！整除，
如11×12×13能被1×2×3整除；97×98×99×100能被4！整除；
a（a+1）(a+2)…(a+n)能被（n+1）！整除。
n！含某因质数的个数。举例如下：
1×2×3×…×10的积中含质因数2的个数共8个
其中2，4，6，8，10都含质因数2暂各计1个，共5个
其中4＝22含两个质因数2增加了1个
其中8＝23含三个质因数2再增加2个
1×2×3×…×130的积中含质因数5的个数的计算法
5，10，15，…125，130均含质因数5暂各计1个，共26个
其中25，50，75，100均含52有两个5各加1个，共4个
其中125＝53含三个5再增加2个
∴积中含质因数5的个数是32
二、例题
例1.写出和等于100的连续正整数
解：∵100＝2×50＝4×25＝5×20＝10×10
其中2个50和10个10都不能写成连续正整数
而4个25：12＋13，11＋14，10＋15，9＋16
得第一组连续正整数9，10，11，12，13，14，15，16。
5个20可由20，19＋21，18＋22
得第二组连续正整数18，19，20，21，22。
例2.一本书用0到9十个数码给每一页编号共要多少个数码？
解：页数编码中，一位数1到9共9个
两位数10－99，共90个，用数码90×2＝180个
三位数100－999，共900个，用数码900×3＝2700个
四位数1000－1990，共991个，用数码991×4＝3964个
∴共用数码9＋180＋2700＋3964＝6853
用连续正整数1到100这100个数顺次连接成的正整数：
1234……99100。问：
①它是一个几位数？
②它的各位上的数字和是多少？
如果从这个数中划去100个数字，使剩下的数尽可能地大，那么剩下的数的前十位数是多少？
解：①这个数的位数=9×1+90×2+3=192
②各位上的数字和=18×50+1=901(见上页第四点)
③划去100个数，从最高位开始并留下所有的9：
包括1――8，10――18，19中的1，20――28，29中的2，……，50到56这里共有8＋19＋19＋19＋19＋14＝98个，再划去57，58中的两个5，
剩下的数的前十位是9999978596。
算术平方根的整数部分等于11的连续正整数共有几个？
解：∵＝11，＝12
∴算术平方根的整数部分等于11的正整数x是112≤x<122
;∴符合条件的连续正整数是12