初中数学竞赛标准教程及练习14：经验归纳法.doc

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初中数学竞赛精品标准教程及练习（14）
经验归纳法

一、内容提要
1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。
通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如
①由(－1)2＝1，（－1）3＝－1，（－1）4＝1，……，
归纳出－1的奇次幂是－1，而－1的偶次幂是1。
②由两位数从10到99共90个（9×10），
三位数从100到999共900个（9×102），
四位数有9×103＝9000个（9×103），
…………
归纳出n位数共有9×10n-1(个)
由1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42……
推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。
可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。
2.经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。
由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明）

二、例题
平面内n条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？
解：两条直线只有一个交点，12
第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋23
第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3
第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4
………
第n条直线和前n－1条直线都相交，增加了n－1个交点
由此断定n条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋……n－1（个），
这里n≥2，其和可表示为［1+（n+1）］×,即个交点。

例2．符号n！表示正整数从1到n的連乘积，读作n的阶乘。例如
5！＝1×2×3×4×5。试比较3n与（n+1）！的大小（n是正整数）
解：当n＝1时，3n＝3,（n＋1）！＝1×2＝2
当n＝2时，3n＝9，（n＋1）！＝1×2×3＝6
当n＝3时，3n＝27,（n＋1）！＝1×2×3×4＝24
当n＝4时，3n＝81,（n＋1）！＝1×2×3×4×5＝120
当n＝5时，3n＝243,（n＋1）！＝6！＝720……
猜想其结论是：当n＝1，2，3时，3n＞（n＋1）！，当n>3时3n＜（n＋1）！。
例3求适合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整数解。
分析：这2003个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从2个，3个，4个……直到发现规律为止。
解：x1+x2=x1x2的正整数解是x1=x2=2
x1+x2+x3=x1x2x3的正整数解是x1=1,x2=2,x3=3
x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整数解是x1=x2=1,x3=2,x4=4
x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整数解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5
x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整数解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6
…………
由此猜想结论是：适合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整数解为x1=x2=x3＝……=x2001=1,x2002=2，x2003=2003。
三、练习14
除以3余1的正整数中，一位数有＿＿个，二位数有＿＿个，三位数有＿＿个，n位数有＿＿＿＿个。
十进制的两位数可记作10a1＋a2,三位数记作100a1+10a2+a3,四位数记作＿＿＿＿，n位数＿＿＿记作＿＿＿＿＿＿
由13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43
＝（＿＿＿）2,13＋＿＿＿＿＿＿＝152，13＋23＋…＋n3=()2。
用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方）
①＝（＿＿＿）2；；－＝（＿＿）2。
②＝（＿＿＿＿）2；＝（＿＿＿）2
把自然数1到100一个个地排下去：123……91011……99100
这是一个几位数？②这个数的各位上的各个数字和是多少

6．计算＋＋＋…＋＝
（提示把每个分数写成两个分数的差）
7．a是正整数，试比较aa+1和(a+1)a的大小.
8．.如图把长方形的四条边涂上红色，然
后把宽3等分，把长8等分，分成24个
小长方形，那么这24个长方形中，
两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个。
本题如果改为把宽m等分,长n等分(m,n都是大于1的自然数)那么这mn个长方形中，两边涂色的有＿＿个，一边涂色的有＿＿个，四边都不着色的有＿＿个
9．把表面涂有红色的正方体的各棱都4等分，切成64个小正方体，那么这64个中，三面涂