初中数学竞赛标准教程及练习36：三点共线.doc

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初中数学竞赛精品标准教程及练习（36）
三点共线
一、内容提要
要证明A，B，C三点在同一直线上，常用方法有：
①连结AB，BC证明∠ABC是平角
②连结AB，AC证明AB，AC重合
③连结AB，BC，AC证明AB＋BC＝AC
④连结并延长AB证明延长线经过点C
证明三点共线常用的定理有：
过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行
经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半
梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半
两圆相切，切点在连心线上
轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上
二、例题
例1.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，点P是形内的任一点，PM⊥AB，
PN⊥CD
求证：M，N，P三点在同一直线上
证明：过点P作EF∥AB，
∵AB∥CD，∴EF∥CD
∠1＋∠2＝180，∠3＋∠4＝180
∵PM⊥AB，PN⊥CD
∴∠1＝90，∠3＝90∴∠1＋∠3＝180
∴M，N，P三点在同一直线上
例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上
已知：平行四边形ABCD中，M，N分别是AD和BC的中点，O是AC和BD的交点
求证：M，O，N三点在同一直线上
证明一：连结MO，NO
∵MO，NO分别是△DAB和△CAB的中位线
∴MO∥AB，NO∥AB
根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行
∴M，O，N三点在同一直线上
证明二：连结MO并延长交BC于N，
∵MO是△DAB的中位线
∴MO∥AB
在△CAB中
∵AO＝OC，ON，∥AB
∴BN，＝N，C，即N，是BC的中点
∵N也是BC的中点，
∴点N，和点N重合
∴M，O，N三点在同一直线上
例3.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90，M，N分别是AB和CD的中点，BC，AD的延长线相交于P
求证：M，N，P三点在同一直线上
证明：∵∠A＋∠B＝90，
∠APB＝Rt∠
连结PM，PN
根据直角三角形斜边中线性质
PM＝MA＝MB，PN＝DN＝DC
∴∠MPB＝∠B，∠NPC＝∠B
∴PM和PN重合
∴M，N，P三点在同一直线上
例4.在平面直角坐标系中，点A关于横轴的对称点为B，关于纵轴的对称点是C，求证B和C是关于原点O的对称点Y
解：连结OA，OB，OC
∵A，B关于X轴对称，CA
∴OA＝OB，∠AOX＝∠BOX
同理OC＝OA，∠AOY＝∠COY
∴∠COY＋∠BOX＝90OX
∴B，O，C三点在同一直线上
∵OB＝OC
∴B和C是关于原点O的对称点B
例5.已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过点B的直线EF分别交⊙O1和⊙O2于E，F。
求证：AE，AF和⊙O1和⊙O2的直径成比例

证明：作⊙O1和⊙O2的直径AM，AN，连结AB，BM，BN
∵AM，AN分别是⊙O1和⊙O2的直径
∴∠ABM＝Rt∠，∠ABN＝Rt∠
∴M，B，N在同一直线上
∴∠M＝∠E，∠N＝∠F
∴△AMN∽△AEF
∴

三、练习36
已知：梯形ABCD中，AB∥CD，M，N，P分别是AD，BC，AC的中点求证：M，N，P三点在同一直线上
已知：△ABC中，BE，CF是中线，延长BE到G，使EG＝BE，延长CF到H，使FH＝CF，
求证：G，A，H三点共线
已知：正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，DE⊥AN于E，
求证：点M在DE的延长线上（同33第5）
求证：梯形两腰中点和两条对角线的中点，四点在同一直线上
已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A和∠D的平分线相交于O，
求证：点O在梯形的中位线上
已知：△ABC中，∠ABM，∠ACN分别是∠B，∠C的邻补角，从点A作∠B，∠C，∠ABM，∠CAN四个角平分线的垂线段AD，AE，AF，AG，垂足是D，E，F，G
求证：D，E，F，G四点在同一直线上
已知：点P在等边△ABC外，PA=PB+PC，以PA为一边作等边△APQ使点Q和点C在PA的同一侧
求证：PQ必过点C
已知：△ABC中，AB=AC，直线AP∥BC，点D和点C是关于直线AP的对称点
求证：点D和点B是关于点A的对称点

练习36参考答案：
连结MP，NP证明都与AB平行
连结AG，AH证明都与BC平行
连结DM证明DM⊥AN5.证明MP平行于底边
根据中位线性质，垂足连线平行于底边
连结CQ，证明∠AQC＝60
证明∠DAP＋∠PAC＋∠CAB＝180