初中数学竞赛标准教程及练习12：用交集解题.doc

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初中数学竞赛精品标准教程及练习（12）
用交集解题
一、内容提要
某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约数集合记作｛6的正约数｝＝｛1，2，3，6｝，它有4个元素1，2，3，6；除以3余1的正整数集合是个无限集，记作｛除以3余1的正整数｝＝｛1，4，7，10……｝，它的个元素有无数多个。
由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集
例如6的正约数集合A＝｛1，2，3，6｝，10的正约数集合B＝｛1，2，5，10｝，6与10的公约数集合C＝｛1，2｝，集合C是集合A和集合B的交集。
几个集合的交集可用图形形象地表示，
右图中左边的椭圆表示正数集合，
右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆
的公共部分，是它们的交集――正整数集。
不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。
例如不等式组解的集合就是
不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x＞2的交集，x>3.
如数轴所示：

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4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。
有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得答案。（如例2）
二、例题
例1.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个自然数的最小值。
解：除以3余2的自然数集合A＝｛2，5，8，11，14，17，20，23，26，……｝
除以5余3的自然数集B＝｛3，8，13，18，23，28，……｝
除以7余2自然数集合C＝｛2，9，16，23，30，……｝
集合A、B、C的公共元素的最小值23就是所求的自然数。
有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。
解：二位的质数共21个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数的集合是｛1，3，7，9｝；
其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三组；
平方数的个位数字相同的只有3和7；1和9二组。
同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组
故所求质数是：23，17；43，37；53，47；73，67共四组。
数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人，订阅B种刊物的有21人，其中6人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订A种、只订B种的各几人？数学兴趣小组共有几人？
解：如图左、右两椭圆分别表示订阅A种、B种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它们的交集（A、B两种都订的人数集合）。
∴只订A种刊物的人数是28－6＝22人；
只订B刊物的人数是21－6＝15人；
小组总人数是22＋15＋6＋1＝44人。
设N，N（A），N（B），N（AB），
分别表示总人数，订A种、B种、AB两种、都不订的人数，则得
［公式一］N＝+N（A）+N（B）－N（AB）。
在40名同学中调查，会玩乒乓球的有24人，篮球有18人，排球有10人，同时会玩乒乓球和篮球的有6人，同时会玩乒乓球和排球的有4人，三种球都会的只有1人，
问：有多少人①只会打乒乓球②同时会打篮球和排球③只会打排球？
解：仿公式一,得［公式二］：
N＝+N（A）+N（B）+N(C)－N（AB）－N（AC）－N(BC)+N(ABC)
①只会打乒乓球的是24－6－4＋1＝15（人）
②求N（BC）可用公式二：
∵40＝24＋18＋10－6－4－N（BC）＋1
∴N（BC）＝3，即同时会打篮球和排球的是3人
③只会打排球的是10－3－1＝6（人）
例5.十进制中，六位数能被33整除，求x和y的值
解：∵0≤x，y≤9，∴0≤x+y≤18，－9≤x－y≤9，x+y>x－y
∵33＝3×11，
∴1＋9＋x+y+8＋7的和是3的倍数，故x+y=2,5,8,11,14,17
(1+x+8)－(9+y+7)是11的倍数，故x－y=－4，7
∵x+y和x－y是同奇数或同偶数，∴它们的交集是下列四个方程组的解：

解得
（x=12不合题意舍去）答：x=2,y=6或x=5,y=9或x=9,y=2

三、练习12
负数集合与分数集合的交集是＿＿＿＿＿＿
等腰直角三角形集合是＿＿＿三角形集合与＿＿＿三角形集合的交集。
12的正约数集合A＝｛｝，30的正约数集合B＝｛｝
12和30的公约数集合C＝｛｝，集合C是集合A和集合B的＿＿
解下列不等式组并把解集（不是空集）表示在数轴上：
①②③④
某数除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某数的最小值。
九张纸各写着1到9中的一个自然数（不重复），甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少？
求符合如下三条