江苏省高校历届专科类数学竞赛试题汇总.doc

江苏省高校历届专科类高等数学竞赛试题
第五届（2000年）专科类高等数学竞赛试题

一、填空题（每小题3分，共15分）
1．已知，则．
2．．
3．．
4．若级数收敛，则的取值为．
5．．

二、选择题（每小题3分，共15分）
1．函数的可去间断点为（）．
A．B．C．D．无可去间断点
2．设，则当时，是的（）．
A．同阶无穷小但不等价B．低阶无穷小C．高阶无穷小D．等价无穷小
3．设常数，函数在内零点个数为（）．
A．B．C．D．
4．设对一切满足，若且，则函数在点（）．
A．取得极大值B．取得极大值
C．某个邻域内单调增加D．某个邻域内单调减少
5．过点且与直线垂直的平面方程是（）．
A．B．
C．D．

三、（8分）设，求常数．

四、（6分）已知函数由方程组确定，求．

五、（6分）设在上连续，在内可导，且对于内的一切均有，证明：若在内有两个零点，则介于这两个零点之间，至少有一个零点．
六、（6分）设，其中是实数，且，试证：

七、（6分）过抛物线上一点作切线，问为何值时所作切线与抛物线所围成的图形面积最小？

八、（6分）当时，的导数与为等价无穷小，求．

九、（8分）求级数的收敛域及和函数.
十、（8分）将展为的幂级数，并指明收敛域．
十一、（6分）求．
十二、（8分）设可微函数在上有定义，其反函数为，且满足
，试求．
第六届（2002年）专科类高等数学竞赛试题

一、填空题（每小题5分，共40分）
1．．
2．设，则，．
3．设在上可导，下列结论中成立的是．
A．若，则在上有界
B．若，则在上无界
C．若，则在上无界
4．设，则．
5．设由确定，则．
6．．
7．．
8．幂级数的收敛域为．
二、（8分）设在上连续且单调减少，，求证：
．

三、（9分）设．
（1）若，求证：在上恰有一个零点；
（2）若，且在上恰有一个零点，求常数的取值范围．

四、（8分）求．

五、（9分）设
（1）当为何值时为一圆？（2）当时，求的圆心和半径．

六、（8分）求直线绕轴旋转一周的旋转曲面的方程，并求该曲面与所包围的立体的体积．

七、（9分）求．

八、（9分）设为常数，试判别级数的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？

第七届（2004年）专科类高等数学竞赛试题

一、填空题（每小题5分，共40分）
1．是周期为的奇函数，当时，，则当时，．
2．当时，与为等价无穷小，则，．
3．．
4．．
5．已知，则当时，．
6．．
7．以直线为对称轴，且半径的圆柱面方程为．
8．．
二、（10分）设在上连续，在内可导，，，求证：在内至少有一点，使得．

三、（10分）设．在的边界上任取一点，设到原点的距离为，作垂直于，交的边界于．
（1）试将的距离表示为的函数；（2）求绕旋转一周的旋转体体积．

四、（10分）设在上有定义，在处连续，且对一切实数有，求证：在上处处连续．

五、（10分）设为常数，方程在上恰有一根，求的取值范围．

六、（10分）已知点与，在平面上求一点，使得最小．

七、（10分）求幂级数收敛域
第八届（2006年）专科类高等数学竞赛试题

一、填空题（每小题5分，共40分）
1．．

2．．

3．若，则，．

4．设，则．

5．设，则．

6．．

7．为空间的4个定点，与的中点分别为，（为常数），为空间的任一点，则的最小值为．

8．已知点为原点，则四面体的外接球面的方程为．

二、（8分）设，试问：为何值时，在处一阶导数连续，但二阶导数不存在．

三、（9分）过点作曲线的切线．
（1）求的方程；（2）求与所围平面图形的面积；
（3）求图形的的部分绕轴旋转一周所得立体的体积．

四、（8分）设在区间上是导数连续的函数，，求证：．

五、（8分）求．

六、（9分）设圆柱面被柱面截下的（有限）部分为．为计算曲面的面积，我们用薄铁片制作的模型，其中为上三点，将沿线段剪开并展成平面图形．建立平面直角坐标系，使位于轴正上方，点的坐标为．试写出的边界的方程，并求的面积．

七、（9分）对常数，讨论级数何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？

八、（9分）求幂级数的收敛域与和函数．

第九届（2008年）专科类高等数学竞赛试题

一、填空题（每小题5分，共40分）
1．，时，．

2．．

3．设，则．

4．当，时，在时关于的无穷小的阶数最高．

5．．

6．点关于平面的对称点的坐标为．

7．通过点与直线：的平面方程为．

8．幂级数的和函数为，收敛域为．

二、（8分）设数列为，求证数列收敛，并求其极限．

三、（8分）设函数在上连续，求证：存在，使得