二阶常微分方程的幂级数解法.pptx

1.变系数→常系数（不是都可以用）3.1.1幂级数解法理论概述我们讨论复变函数幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较定义3.1.1常点奇点2.常点邻域上的幂级数解定理故可以把它表示为此邻域上的泰勒级数.为了确定级数解（3.1.2）中的系数，具体的做法是以3.1.2常点邻域上的幂级数解法勒让德方程的求解即为点因此，由任意常数将它们代入解的表达式中，得到勒让德方程解的形式所以不妨设取多项式最高次项系数为这样取主要是为了使所得多项式在(3.1.12)我们已经指出，在经过计算后，注：法国数学家勒让德（A.M.Legendre1725～1833）最早专门研究过在球坐标系中求解数学物理方程问题时所遇到的一类特殊函数．由于这类函数具有多项式形式，所以命名这类函数为勒让德函数.（2）当勒让德函数其中，下面介绍奇点邻域的幂级数解法：贝塞尔方程的求解．将（3.1.19）及其导数代入（3.1.18）后，得由此知（3.1.19）的一般项为运用下列恒等式至此，就求出了贝塞尔方程的一个特解数还是负数，总可以用（3.1.25）统一地表达第一类贝
塞尔函数．故这两个特解故级数由于可见正、负可以证明这个函数，确实是贝塞尔方程的一个特解，3．2施图姆－刘维尔特征值问题常见的本征值问题都可以归结为施图姆(J.C.F.Sturm)－刘维尔(J.Liouville)本征值问题，本节就讨论具有普遍意义的施图姆－刘维尔本征值问题．的二阶常微分方程叫作施图姆－刘维尔型方程，简称施－刘型方程．
研究二阶常微分方程的本征值问题时，对于一般的二阶常微分方程施图姆－刘维尔型方程（13.2.1）附加以齐次的第一类、
第二类或第三类边界条件，或自然边界条件，就构成
施图姆－刘维尔本征值问题.再加上自然边界条件：或