新教材人教A版数学必修第二册学案第8章8.6.2第2课时-线面垂直的性质与空间距离Word版含解析.doc

第2课时线面垂直的性质与空间距离
学习任务核心素养1．理解直线与平面垂直的性质定理．(重点)
2．能利用直线与平面垂直的性质定理进行证明．(难点)
3．理解空间距离相关定义并会求相应的距离．通过学习直线与平面垂直的性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养．知识点1直线与平面垂直的性质定理
文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b图形语言作用证明两条直线平行在长方体ABCD­A′B′C′D′中，棱AA′，BB′所在直线与平面ABCD位置关系如何？这两条直线又有什么样的位置关系？
[提示]棱AA′，BB′所在直线都与平面ABCD垂直；这两条直线互相平行．
1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则()
A．B1B⊥l
B．B1B∥l
C．B1B与l异面但不垂直
D．B1B与l相交但不垂直
B[因为B1B⊥平面A1C1，又因为l⊥平面A1C1，所以l∥B1B．]
知识点2空间距离
1．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．
2．一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
3．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
2．已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，则点C到平面BDD1B1的距离为()
A．1B．eq\r(2)C．2eq\r(2)D．2eq\r(3)
B[如图，连接AC，DB交于点O，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，
∵DB⊥AC，BB1⊥AC，BB1∩DB＝B，
∴AC⊥平面BDD1B1．
∴点C到平面BDD1B1的距离为CO．
∵AB＝2，∴AC＝2eq\r(2)，
∴CO＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2)．]
类型1线面垂直性质定理的应用
【例1】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：MN∥AD1．
[解]因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D．
又因为CD⊥平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1．
因为A1D∩CD＝D，
所以AD1⊥平面A1DC．
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．
证明线线平行常用的方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．
(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
eq\o([跟进训练])
1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a⊂β，a⊥AB．求证：a∥l．
[证明]因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA．
同理l⊥EB．又EA∩EB＝E，
所以l⊥平面EAB．
因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB．
由线面垂直的性质定理，得a∥l．
类型2空间中的距离问题
【例2】如图，在四棱锥P­ABCD中，CD⊥平面PAD，AD＝2PD＝4，AB＝6，PA＝2eq\r(5)，∠BAD＝60°，点Q在棱AB上．
(1)证明：PD⊥平面ABCD；
(2)若三棱锥P­ADQ的体积为2eq\r(3)，求点B到平面PDQ的距离．
[解](1)证明：因为AD＝2PD＝4，PA＝2eq\r(5)，所以PA2＝PD2＋AD2，即PD⊥AD，因为CD⊥平面PAD，
所以CD⊥PD，且AD∩CD＝D．
所以PD⊥平面ABCD．
(2)因为三棱锥P­ADQ的体积为2eq\r(3)，
所以eq\f(1,3)S△ADQ·PD＝2eq\r(3)，
所以S△ADQ＝3eq\r(3)．
所以eq\f(1,2)AD·AQ·sin60°＝3eq\r(3)，
所以AQ＝3．
所以Q为AB中点，即点A到平面PDQ的距离等于点B到平面PDQ的距离．
在△ADQ中，由余弦定理可得DQ＝
eq\r(AD2＋AQ2－2AD·AQcos60°)＝eq\r(13)．
所以S△PDQ＝eq\f(1,2)×PD×DQ＝eq\r(13)．
由VP­ADQ＝VA­PDQ⇒2eq\r(3)＝eq\f(1,3)×eq\r(13)×d，所以d＝eq\f(6\r(39),13)．
所以点