巩固6.5.2第1课时-平面与平面垂直的性质含解析.doc

课后素养落实(四十九)平面与平面垂直的性质
(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．从空间一点P向二面角α­l­β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α­l­β的平面角的大小是()
A．60° B．120°
C．60°或120° D．不确定
C[∵PE⊥α，PF⊥β，∴P，E，F三点确定的平面垂直于α和β.过点E作l的垂线，垂足为O，连接OF，易知l⊥OF且P，E，O，F四点共面，则∠FOE为二面角的平面角，如图1所示．

图1
此时，∠FOE＋∠EPF＝180°，所以二面角α­l­β的平面角为120°.
当点P的位置如图2所示时，

图2
此时∠FOE＝∠EPF，所以二面角α­l­β的平面角为60°.]
2.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()

A．EF⊥平面α
B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE
D．PQ⊥FH
B[因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.]
3．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题，其中正确命题的个数为()
①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；
④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.
A．1 B．2
C．3 D．4
B[根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.]
4．在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1()
A．平行 B．共面
C．垂直 D．不垂直
C[如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD.∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C.]
5.如图，二面角α­l­β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是()

A．eq\f(2\r(5),\r(29)) B．eq\f(\r(3),4)
C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(2,5)
B[如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l，则∠ACO为二面角α－l－β的平面角，∠ABC为AB与l所成的角．
设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ.由图得sinθ＝eq\f(AO,AB)＝eq\f(AC,AB)·eq\f(AO,AC)＝sin30°·sin60°＝eq\f(\r(3),4).]
二、填空题
6.如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中：

(1)二面角D′­AB­D的大小为________．
(2)二面角A′­AB­D的大小为________．
(1)45°(2)90°[(1)在正方体ABCD­A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′­AB­D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′­AB­D的大小为45°.
(2)因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD为二面角A′­AB­D的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′­AB­D的大小为90°.]
7．已知三棱锥D­ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝eq\r(3)，BC＝2，则二面角D­BC­A的大小为__________．
90°[如图，由题意知AB＝AC＝BD＝CD＝eq\r(3)，BC＝AD＝2.
取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠DEA为所求二面角的平面角．
易得AE＝DE＝eq\r(2)，又AD＝2，所以DE2＋AE2＝AD2，即∠DEA＝90°，即所求二面角的大小为90°.]
8.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cosα∶cosβ＝________．

eq\f(\r(5),2)[由题意，两个矩形的对角线长分别为5，2eq\r(5)，所以cosα＝eq\f(5,\r(25＋4))＝eq\f(5,\r(29))，cosβ＝eq\f(2\r(5),\r(29