学案第二章2.3.3-2.3.4点到直线的距离公式-两条平行直线间的距离.doc

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2.3.3点到直线的距离公式
2.3.4两条平行直线间的距离

必备知识·自主学习
导思1.怎样求点到直线的距离？
2．怎样求两条平行线间的距离？1.点到直线的距离
(1)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(2)本质：用代数方法求平面内点到直线的距离．

能不能直接用直线的斜截式方程求点到直线的距离？
提示：不能，必须先化成一般式，再代入公式求距离．
2．两条平行直线间的距离
(1)定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．
(2)公式：直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝．
(3)本质：用代数方法求平面内两条平行直线间的距离．

直线l1，l2的方程具备什么特征时，才能直接应用公式求距离？
提示：直线l1，l2的方程必须是一般式，且一次项系数A，B相同．

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b.()
(2)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.()
(3)两直线2x＋2y＝m与x＋y＝2n的距离为eq\f(|m－2n|,\r(2)).()
提示：(1)×.点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离应为d＝|y0－b|，因为y0与b的大小不确定．
(2)√.点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|，式子中加了绝对值，所以正确．
(3)×.求两条平行线间的距离必须先把x与y的系数变为相同形式．
2．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为()
A．1B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)
【解析】选D.d＝eq\f(|0＋2×0－5|,\r(12＋22))＝eq\r(5).
3．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为()
A．3B．2C．1D．eq\f(1,2)
【解析】选C.d＝eq\f(|－7－（－12）|,\r(32＋42))＝1.
4．(教材二次开发：例题改编)若第二象限内的点P(m，1)到直线x＋y＋1＝0的距离为eq\r(2)，则m的值为________.
【解析】由eq\f(|m＋1＋1|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，
得m＝－4或m＝0，
又因为m<0，所以m＝－4.
答案：－4
关键能力·合作学习
类型一点到直线的距离公式(数学运算)

1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是()
A．3B．eq\f(5,3)C．1D．eq\f(\r(2),2)
2．已知点M(1，4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m＝()
A．0B．eq\f(3,4)C．3D．0或eq\f(3,4)
3．已知点P(1＋t，1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为eq\f(\r(5),5)，则点P的坐标为()
A．(0，－2) B．(2，4)
C．(0，－2)或(2，4) D．(1，1)
4．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是()
A．8B．2eq\r(2)C．eq\r(2)D．16
【解析】1.选B.点P(1，－1)到直线l的距离d＝eq\f(|3×（－1）－2|,\r(02＋32))＝eq\f(5,3).
2．选D.点M到直线l的距离d＝eq\f(|m＋4－1|,\r(m2＋1))＝eq\f(|m＋3|,\r(m2＋1))，
所以eq\f(|m＋3|,\r(m2＋1))＝3，解得m＝0或m＝eq\f(3,4).
3．选C.直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得eq\f(|2（1＋t）－（1＋3t）－1|,\r(22＋（－1）2))＝eq\f(\r(5),5)，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1.
当t＝1时，点P的坐标为(2，4)；
当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2).
4．选A.x2＋y2＝(eq\r(（x－0）2＋（y－0）2))2，它表示原点到(x，y)距离的平方，x2＋y2的最小值即为原点到直线x＋y－4＝0的距离的平方，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|0＋0－4|,\r(2))))eq\s\up12(2)＝8.

应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式；(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用；(3)直线方程A