新教材苏教版数学必修第二册学案第13章-13.3-13.3.1-空间图形的表面积Word版含解析.doc

13.3空间图形的表面积和体积
13.3.1空间图形的表面积
学习任务核心素养1．了解直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的几何特征．(重点)
2．了解柱、锥、台的表面积的计算公式．(易错点)
3．会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥和圆台的表面积．(重点、难点)1．通过对柱、锥、台的侧面展开，培养直观想象素养．
2．通过利用柱、锥、台的侧面积和表面积计算公式，培养数学运算素养．1．在下图中，哪些图形是空间图形的展开图？
2．下图中分别是哪些空间图形的侧面展开图？
知识点1几种特殊的多面体
(1)直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱．
(2)正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫作正棱柱．
(3)正棱锥：一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等，侧面均为全等的等腰三角形．
(4)正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作正棱台．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)棱长都相等的长方体是正方体．()
(2)有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱．()
(3)有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱．()
(4)底面为菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱．()
[答案](1)√(2)√(3)×(4)√
知识点2几种简单空间图形的侧面展开图与侧面积
空间图形直观图侧面展开图侧面积直(正)棱柱S直(正)棱柱侧＝ch正棱锥S正棱锥侧＝eq\f(1,2)ch′正棱台S正棱台侧＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′圆柱S圆柱侧＝cl＝2πrl圆锥S圆锥侧＝eq\f(1,2)cl＝πrl圆台S圆台侧＝eq\f(1,2)(c＋c′)l＝π(r＋r′)l圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系？
[提示]S圆柱侧＝2πrleq\o(――→,\s\up17(r′＝r))S圆台侧＝π(r′＋r)leq\o(――→,\s\up17(r′＝0))S圆锥侧＝πrl．
2．正三棱锥的底面边长为a，高为eq\f(\r(3),3)a，则此棱锥的侧面积为________．
eq\f(\r(15),4)a2[如图，在正三棱锥S­ABC中，过点S作SO⊥平面ABC于O点，则O为△ABC的中心，连接AO并延长与BC相交于点M，连接SM，SM即为斜高h′，在Rt△SMO中，h′＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)a))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(15),6)a，所以侧面积S＝3×eq\f(1,2)×eq\f(\r(15),6)a×a＝eq\f(\r(15),4)a2．]
3．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于________．
2π[以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r＝1，高h＝1，所以侧面积S＝2πrh＝2π．]
类型1棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积
【例1】正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3cm，求它的表面积．
由S侧与S底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系，进而求出斜高和底面边长，最后求表面积.
[解]如图，设PO＝3(cm)，PE是斜高，
∵S侧＝2S底，
∴4×eq\f(1,2)×BC×PE＝2BC2．
∴BC＝PE．
在Rt△POE中，PO＝3(cm)，OE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)PE．
∴9＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PE,2)))eq\s\up12(2)＝PE2，
∴PE＝2eq\r(3)(cm)．
∴S底＝BC2＝PE2＝(2eq\r(3))2＝12(cm2)．
S侧＝2S底＝2×12＝24(cm2)．
∴S表＝S底＋S侧＝12＋24＝36(cm2)．
求棱锥、棱台及棱柱的侧面积和表面积的关键是求底面边长，高，斜高，侧棱.求解时要注意直角三角形和梯形的应用.
[跟进训练]
1．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高．
[解]如图所示，在三棱台ABC­A′B′C′中，O′，O分别为上、下底面的中心，D，D′分别是BC，B′C′的中点，则DD′是等腰梯形BCC′B′的高，
所以S侧＝3×eq\f(1,2)×(20＋30)×DD′＝75DD′(cm2)．
又A′B′＝20cm，AB＝30cm，则上、下底面面积之和为S上＋S下＝eq\f