新教材学案1.2.5空间中的距离含解析.doc

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衡石量书整理
1．2.5空间中的距离

导思1.空间中的距离有哪些，它们分别是怎样定义的？
2．如何求这些空间距离？空间中的距离
名称概念求法两点之间的距离空间中两个点连线的线段长求向量的模点到直线的距离过直线外一点作直线的一条垂线段的长求向量的模点到平面的距离过平面外一点作平面的一条垂线段的长d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BA,\s\up6(→))·n)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(n)))，
其中A是平面外一点，B是平面内一点，n是平面的一个法向量线到面的距离当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离转化为求点到平面的距离面到面的距离(公垂线段长)当平面与平面平行时，一个平面内的任意一点到另一个平面的距离
空间距离的几种形式的求解方法之间有何关系？
提示：点点距、点线距都可用空间向量的模来求解，而线面距和面面距可以转化为点面距，利用平面的法向量来求解．

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)点到线的距离就是垂线的方向向量的模．()
(2)直线与它的平行平面的距离可转化为直线上任一点到平面上任一点的距离．()
(3)两平行平面间的距离可转化为一个平面内任一点与另一个平面内的任一点之间的距离．()
提示：(1)×.点到线的距离可用空间向量的模来求解，但不一定是垂线的方向向量的模．
(2)×.直线与它的平行平面的距离可转化为直线上任一点到平面的距离．
(3)×.两平行平面间的距离可转化为一个平面内任一点到另一个平面的距离．
2．已知A(1，1，0)，B(－1，2，1)，则A，B两点间的距离是()

A．6B．eq\r(5)C．eq\r(6)D．5
【解析】选C.因为A(1，1，0)，B(－1，2，1)，
所以A，B两点间的距离是eq\r(（1＋1）2＋（1－2）2＋（0－1）2)＝eq\r(6).
3．(教材例题改编)正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为________．
【解析】

由题意可知，A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面的距离．连接A1C1，交B1D1于O1，A1O1的长即为所求．由题意可得A1O1＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\r(2).
答案：eq\r(2)

关键能力·合作学习
类型一空间两点之间的距离(逻辑推理、数学运算)

1．如图，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂平面α，AC⊥平面α，BD⊥AB，BD与平面α成30°角，则C，D间的距离为()

A.1B．2C．eq\r(2)D．eq\r(3)
【解析】选C.|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))|2＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋2eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2，
所以|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(2).
2．如图，已知在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则线段AC1的长为()

A.1B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．2
【解析】选B.因为在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，
底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，
∠A1AB＝∠A1AD＝120°，
所以＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋，
所以＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋)2
＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＋＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·＋2eq\o(BC,\s\up6(→))·
＝1＋1＋4＋2×1×2×cos120°＋2×1×2×cos120°＝2.
所以线段AC1的长为eq\r(2).
3．如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线