学案7.2空间点直线平面之间的位置关系Word版含答案.doc

PAGE-13-

第二节空间点、直线、平面之间的位置关系

1．平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2．空间两条直线的位置关系
(1)位置关系分类：
eq\a\vs4\al(位置,关系)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(相交直线：同一平面内，有且只有一个,公共点；,平行直线：同一平面内，没有公共点；)),异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．))
(2)平行公理(公理4)和等角定理：
①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
(3)异面直线所成的角：
①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；
②范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．
3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言符号语言公共点直线与平面相交a∩α＝A1个平行a∥α0个在平
面内a⊂α无数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l无数个

1．公理的作用
公理1：可用来证明点、直线在平面内．
公理2：可用来确定一个平面．
公理3：
(1)可用来确定两个平面的交线．
(2)判断或证明多点共线．
(3)判断或证明多线共点．
公理4：
(1)可用来判断空间两条直线平行．
(2)等角定理的理论依据．
2．异面直线的两个结论
(1)平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
(2)分别在两个平行平面内的直线平行或异面．

1．(基础知识：平面的概念)下列命题中，真命题是()
A．空间不同三点确定一个平面
B．空间两两相交的三条直线确定一个平面
C．两组对边相等的四边形是平行四边形
D．和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内
答案：D
2．(基础知识：空间直线的关系)若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()
A．一定平行 ．一定相交
C．一定是异面直线 D．一定垂直
答案：D
3．(基本方法：异面直线所成角的概念)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()

A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案：C
4．(基础知识：点、线、面关系的推理)设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________(填序号).
①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.
答案：③④
5.(基本应用：空间直线与平面关系的应用)如图所示，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则
(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
(2)当AC，BD满足条件________________时，四边形EFGH为正方形．
答案：(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD

题型一平面的基本性质

[典例剖析]
类型1共面问题
[例1](1)如图所示，P，Q，R，S分别是所在正方体或四面体的棱的中点，则这四个点不共面的是()

解析：选项ABC图中四点一定共面，选项D中四点不共面．
答案：D
(2)如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G，H分别为FA，FD的中点．
①证明：四边形BCHG是平行四边形；
②C，D，F，E四点是否共面？为什么？
解析：①证明：由题设知，因为G，H分别为FA，FD的中点，所以GH∥AD且GH＝eq\f(1,2)AD，
又BC∥AD且BC＝eq\f(1,2)AD，
故GH∥BC且GH＝BC，
所以四边形BCHG是平行四边形．
②C，D，F，E四点共面．理由如下：
由BE∥AF且BE＝eq\f(1,2)AF，G是FA的中点知BE∥GF且BE＝GF，所以四边形EFGB是平行四边形，所以EF∥BG.
由①知BG∥CH，所以EF∥CH.
故EC，FH共面．又点D在直线FH上，
所以C，D，F，E四点共面．
类型2共点、共线问题
[例2