高中人教版数学必修4学案1.1.2-弧度制.doc

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1.1.2弧度制

考试标准

课标要点学考要求高考要求弧度制的概念aa弧度与角度的互化bb知识导图

学法指导
1.熟练掌握弧度制的定义，可以从六十进制与十进制区别角度制与弧度制．
2．由圆周角找出弧度制与角度制的联系，记住常见特殊角对应的弧度数．
3．记忆扇形的面积公式时可将扇形看作三角形来记忆，S＝eq\f(1,2)底·高＝eq\f(1,2)lR.

1.度量角的两种制度
角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的eq\f(1,360)为1度的角，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度
的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1radeq\x(状元随笔)正确理解弧度与角度的概念
区别(1)定义不同；
(2)单位不同：弧度制以“弧度”为单位，角度制以“度”为单位联系(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值；
(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化
2．弧度数的计算
(1)正角：正角的弧度数是一个正数．
(2)负角：负角的弧度数是一个负数．
(3)零角：零角的弧度数是0.
(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq\f(l,r).
3．角度制与弧度制的换算

角度化弧度弧度化角度360°＝2π_rad2πrad＝360°180°＝π_radπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度数×eq\f(π,180)＝弧度数弧度数×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数eq\x(状元随笔)角度制与弧度制换算公式的理解
(1)弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算．
(2)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量度也不同．
4．扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝α·R.
(2)扇形面积公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)α·R2.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)1弧度的角等于1度的角．()
(2)弧度的计算公式为α＝eq\f(l,r).()
(3)直角的弧度数为eq\f(π,2).()
答案：(1)×(2)×(3)√
2．下列各种说法中，错误的是()
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的eq\f(1,360)，1rad的角是周角的eq\f(1,2π)
C．根据弧度的定义，180°的角一定等于πrad的角
D．利用弧度制度量角时，它与圆的半径长短有关
解析：角的大小只与角的始边和终边的位置有关，而与圆的半径大小无关，故选D.
答案：D
3．将864°化为弧度为()
A.eq\f(36π,5)B.eq\f(12π,5)
C.eq\f(24π,5)D.eq\f(48,25)π
解析：864°＝864×eq\f(π,180)＝eq\f(24π,5)，故选C.
答案：C
4．扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．
解析：216°＝216×eq\f(π,180)＝eq\f(6π,5)，l＝α·r＝eq\f(6π,5)r＝30π，
∴r＝25.
答案：25

类型一角度与弧度的换算
例1(1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到0.01)：
α1＝－eq\f(11,7)π，α2＝eq\f(511,6)π，α3＝9，
α4＝－855°.
(2)把下列各角化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式：eq\f(16π,3)，－315°，－eq\f(11π,7).
(3)在0°～720°范围内，找出与eq\f(2,5)π终边相同的角．
【解析】(1)α1＝－eq\f(11,7)π＝－eq\f(11,7)×180°≈－282.86°；α2＝eq\f(511,6)π＝eq\f(511,6)×180°＝15330°；
α3＝9＝9×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈515.66°；α4＝－855°＝－855°×eq\f(π,180)＝－eq\f(19,4)π.