新教材学案第7章7.17.1.1任意角含答案.doc

7.1角与弧度
7.1.1任意角
学习任务核心素养1．了解任意角的概念，了解两角的和、互为相反角和两角的差的概念．
2．理解象限角的概念及终边相同的角的含义．(重点)
3．掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．(难点)1．通过终边相同角的计算，培养数学运算素养．
2．借助任意角的终边位置的确定，提升逻辑推理素养.

初中对角的定义是：射线OA绕端点O按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到0°～360°范围内的角．但是现实生活中随处可见超出0°～360°范围的角．例如体操中有“前空翻转体540°”，主动轮和被动轮的旋转方向不一致，如何定义角才能解决这些问题呢？
知识点1任意角的概念
(1)角的概念：一个角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边．
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
类型定义图示正角按逆时针方向旋转所形成的角负角按顺时针方向旋转所形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角1.如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？
[提示]不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．
(3)两角的和、互为相反角、两角的差：
对于两个任意角α，β，将角α的终边旋转角β(当β是正角时，按逆时针方向旋转；当β是负角时，按顺时针方向旋转；当β是零角时，不旋转)，这时终边所对应的角称为α与β的和，记作α＋β.射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为相反角．角α的相反角记为－α，于是有α－β＝α＋(－β)．
1.如图，角α＝________，β＝________.

240°－120°[α是按逆时针方向旋转的，为240°，β是按顺时针方向旋转的，为－120°.]
知识点2象限角与轴线角
(1)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．
(2)轴线角：终边在坐标轴上的角．
2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)180°是第二象限角．()
(2)－30°是第四象限角．()
(3)第一象限内的角都小于第二象限内的角．()
[提示](1)180°是轴线角．
(3)如375°＞120°，而375°和120°分别是第一、二象限内的角．
[答案](1)×(2)√(3)×
知识点3终边相同的角
与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
2.终边相同的角一定相等吗？其表示法唯一吗？
[提示]终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角的表示方法不唯一．
3.与－215°角终边相同的角的集合可表示为________．
{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}[由终边相同的角的表示可知与－215°角终边相同的角的集合是{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}．]

类型1角的概念辨析
【例1】(1)给出下列说法：
①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．
其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．
(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
①420°.②855°.③－510°.
(1)①[①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；
②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；
③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；
④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．]
(2)[解]作出各角的终边，如图所示：

由图可知：
①420°是第一象限角．
②855°是第二象限角．
③－510°是第三象限角．

1．理解角的概念的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
2．象限角的判定方法
(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．
(2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；
第二步，判断β的终边所在的象限；
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．
提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．

[跟进训练]
1．时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________