立体几何--高考数学考前三个月速记清单.docx

专题八立体几何——高考数学考前三个月速记清单
（一）空间几何体的表面积与体积
1.棱柱
体积：．(S为底面积，h为高)
表面积：
2．棱锥
体积：.(S为底面积，h为高)
表面积：
3．棱台
体积：(S、为底面积，h为高)
表面积：
4．圆柱
体积：(r为底面半径，h为高)
表面积：．(r为底面半径，l为母线长)
5.圆锥
体积：(r为底面半径，h为高)
表面积：．(r为底面半径，l为母线长)
6.圆台
体积：(r、r′为底面半径，h为高)
表面积：
7.球
体积：(R为球的半径)
表面积：
8.多面体与球切、接问题的求解方法
(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解．
(2)若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解．
（二）点，直线，平面之间的位置关系
1.线面平行与垂直的判定与性质
定理名称文字语言图形语言符号语言线面平行的判定定理平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与此平面平行线面平行的性质定理一直线与一个平面平行，则过这条直线的任何一个平面与此平面的交线与该直线平行线面垂直的判定定理一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直线面垂直的性质定理垂直于同一平面的两条直线平行2.面面平行与垂直的判定与性质
定理名称文字语言图形语言符号语言面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行面面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行面面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直面面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直（三）利用空间向量证明平行与垂直关系
1.利用向量方法证明平行与垂直
设直线l，m的方向向量分别为．平面的法向量分别为．
(1)线线平行
．
(2)线线垂直

(3)线面平行

(4)线面垂直
．
(5)面面平行

(6)面面垂直
.
2.向量法求空间角
（1）异面直线所成的角：设分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成的角满足．
(2)线面角
设l是斜线l的方向向量，n是平面α的法向量，则斜线l与平面α所成的角满足．
(3)二面角
①如图(ⅰ)，AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小．
②如图(ⅱ)(ⅲ)，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足或.

(4)点到平面的距离的向量求法

如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离．
3.模、夹角和距离公式
(1)设，则，，．
(2)距离公式
设，则
4.利用空间向量求线线角、线面角的思路
(1)异面直线所成的角，可以通过两直线的方向向量的夹角求得，即
(2)直线与平面所成的角主要通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即
5.利用空间向量求二面角的思路
二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量的夹角(或其补角)或通过二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角．
6.利用空间向量求点到平面距离的方法
如图，设A为平面内的一点，B为平面外的一点，n为平面的法向量，则B到平面的距离．

三垂线定理相关结论
三垂线定理：
平面内的一条直线，如果穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也就和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理：
如果平面内的一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影.