北京市朝阳区2025届高三下学期3月质量检测（一模）数学试卷及答案.docx

北京市朝阳区2024-2025学年高三下学期质量检测一（3月）数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，集合，则（）
A． B． C． D．
2．设复数的共轭复数为，则（）
A．1 B． C．2 D．4
3．在的展开式中，常数项为（）
A． B． C． D．
4．为了得到函数的图象，可以将函数的图象
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
5．已知是等比数列，，，则（）
A． B． C． D．1
6．已知曲线，则“”是“为焦点在轴上的双曲线”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知，，则（）
A． B． C． D．1
8．某市计划在一条河上修建一座水上休闲公园，如图所示．这条河两岸所在直线，互相平行，桥DE与河岸所在直线垂直．休闲公园的形状可视为直角三角形，它的三个入口分别设在直角三角形的顶点A，B，C处，其中入口A点（定点）在桥DE上，且A到直线，的距离分别为，（为定值），入口B，C分别在直线，上，公园的一边AB与直线所成的锐角为，另一边AC与AB垂直．设该休闲公园的面积为，当变化时，下列说法正确的是（）

A．函数的最大值为
B．函数的最小值为
C．若，且则
D．若，且，则
9．在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（）
A．0 B． C． D．
10．位同学参加学校组织的某棋类单循环制比赛，即任意两位参赛者之间恰好进行一场比赛．每场比赛的计分规则是：胜者计分，负者计分，平局各计分．所有比赛结束后，若这位同学的得分总和为分，且平局总场数不超过比赛总场数的一半，则平局总场数为（）
A． B． C． D．
二、填空题
11．函数的定义域为．
12．已知点在抛物线上，则抛物线C的焦点F的坐标为；以F为圆心，为半径的圆与抛物线C的准线的位置关系是．（填“相交”“相切”或“相离”）
13．已知函数是上的奇函数，当时，则；若存在，使得，则c的一个取值为．
14．干支纪年法是我国古代一种纪年方式，它以十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十二地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）的组合来表示年份，循环纪年．比如某一年为甲子年‘，则下一年为乙丑年，再下一年为丙寅年，以此类推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即甲戌年，下一年为乙亥年，之后地支回到“子”，即丙子年，以此类推．已知2025年是乙巳年，则2025年之后的首个己巳年是年．（用数字作答）
15．在棱长为的正方体中，点P是底面内的动点，给出下列四个结论：
①的最小值为；
②的最小值为；
③的最大值为；
④的最小值为．
其中所有正确结论的序号是．
三、解答题
16．如图，在四棱柱中，平面，在四边形中，，为线段的中点．

(1)求证：平面；
(2)若平面平面，，求平面与平面夹角的余弦值．
17．在中，
(1)求c的值；
(2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的周长．
条件①：；
条件②：AB边上的高为；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18．某高中组织学生研学旅行．现有A，B两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行．研学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行满意度调查，调查结果如下表：
高一高二高三A地B地A地B地A地B地满意122183156一般226568不满意116232假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立．用频率估计概率．
(1)估计该校学生对本次研学旅行满意的概率；
(2)分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择去B地的概率；
(3)对于上述样本，在三个年级去A地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生
人数的方差为，调查结果为不满意的学生人数的方差为，写出和的大小关系．`（结论不要求证明）
19．已知椭圆的右焦点为，离心率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点作直线l与椭圆E交于不同的两点A，B．设，直线BC与直线交于点N，求证：直线AN的斜率为定值．
20．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求证：当时，；
(3)若函数有个不同的零点，求的取值范围．
21．已知，，，为有穷正整数数列，若存在，其使得，其中，则称Q为连续可归零数列．
(1)判断：1，3，2和：4，2，4是否为连续可归零数列？并说明理由；
(2)对任意的正整数，记，其中表示数集S中最大的数．令，求证：数列，，，不是连续可归零数列；
(3)若，，，的每一项均为不大