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2021年上半年《高中数学学科知识与教学能力》真题注意事项：1.考试时间为120分钟，满分为150分。2.请按规定在答题卡上填涂、作答。在试卷上作答无效，不予评分。一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分。1.下列命题不正确的是（）。A.有理数对于乘法运算封闭B.有理数可以比较大小C.有理数集是实数集的子集D.有理数集不是复数集的子集【答案】D【解析】本题考查常见数集之间的关系。A选项，一个有理数乘另一个有理数的积仍然是有理数，即有理数对于乘法运算是封闭的。所以该命题正确。B选项，有理数与数轴上的点是一一对应，任何两个有理数都可以比较大小，结果可以用大于、小于或等于。所以该命题正确。C选项，实数集包括有理数集和无理数集，而实数集又是复数集的真子集，所以有理数集是实数集的子集，有理数集也是复数集的子集。所以该命题正确。D选项，该命题错误，见选项C剖析。有理数集是实数集的子集，也是复数集的子集。故正确答案为D选项。2.设，是非零向量，下列四个命题：（1）垂直于（2）垂直于（3）平行于（4）平行于正确的个数是（）。A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】本题考查向量的运算—向量积的知识。根据向量积的定义，设向量由向量与按如下方式确定：①向量的模②向量的方向既垂直于向量，又垂直于向量，且其指向符合右手定则则向量叫作向量与的向量积，记作。根据向量积的定义，可知题干中（1）（2）正确，（3）（4）错误。故本题选择C。3.设为开区间上的可导函数，则下列命题正确的是（）。A.在上必有最大值B.在上必一致连续C.在上必有界D.在上必连续【答案】D【解析】本题考查可导、连续、微积分之间的关系。A、C选项，为开区间上的可导函数，不能确定是否有最大值和最小值，以及有界性。如：在上可导，但它在上没有最大值，也没有最小值，即它不是有界的。所以两个选项为错误选项。B选项，还是以“在上可导”为例，正确此函数不是一致连续的。分别取序列和，显然，所以对，当时，有。取，对，当时有，所以函数在上不是一致连续的。故选项B错误。D选项，根据微积分的知识，可导的函数必连续，所以在上必连续，该选项正确。4.若矩阵与的秩均2，则线性方程组的解的个数是（）A.0B.1C.2D.无穷【答案】B【解析】本题考查非齐次线性方程组的解的个数。非齐次线性方程组的解，如果满足，那么该方程组的解是惟一的。因此，在本题中，矩阵与的秩均为2，则线性方程组的解是惟一的。因此答案为B。5.边长为4的正方体木块，各面均涂成红色，将其据成64个边长为1的小正方体，将它们混在一起，随机取出1个小正方体，恰有两面为红色的概率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】本题考查概率的求法。恰有两面为红色的小正方体位于棱上，并且处于每条棱的中间位置，因此共有12×（4-2）=24个，所以恰有两面为红色的概率为。因此答案为A。6.在空间直角坐标系中，抛物柱面与平面的交线为（）。A.椭圆B.两条平行线C.抛物线D.双曲线【答案】B【解析】本题考查空间中的曲面。抛物柱面和平面可看作是平面内曲线与直线沿平行Z轴方向平移得到。联立两个方程和方程，消去y得到，其中，故在平面内，曲线与直线的交是两个点。沿着平行Z轴方向平移这两个点，就得到两条平行的直线，所以抛物柱面和平面的交为平行于Z轴的两条平行线。所以该题目选择B选项。7.下面不属于“尺规作图三大问题”的是（）。A.三等分任意角B.做一个立方体使之体积等于已知正方体体积的二倍C.做一个正方形使之面积等于已知圆的面积D.做一个正方形使之面积等于已知正方形面积的二倍【答案】D【解析】本题考查数学史。“尺规作图三大问题”是指：三等分角、倍立方体、化圆为方。因此A,B,C均属于尺规作图三大问题，D不属于，所以正确选项为D。8.下列函数属于高中数学必修课程内容的是（）。A.风险与决策B.平面向量C.数列与差分D.矩阵与变换【答案】B【解析】本题考查数学课程内容。A选项，风险与决策是高中数学选修4-9的内容。C选项，数列与差分是高中数学选修4-3的内容。D选项，矩阵与变换是选修4-2的内容。B选项，平面向量是高中数学必修4的内容，因此B为正确选项。二、简答题（本题共5道，每题7分，共计35分）9.在什么条件下，存在逆矩阵，并求出其逆矩阵。【答案】设，若矩阵存在可逆矩阵，则有，故而矩阵A的行列式，即。逆矩阵为方法一：因为，所以。方法二：因此，【解析】本题考查逆矩阵以及逆矩阵的求法。10.求二次曲面过点的切平面的法向量。【答案】设则。因此在点的切平面方程的法向量为。【解析】本题考查切平面法向量的求法。11.设是R到R的函数，是函数集合。对，令，