备战2021年高考数学一轮复习 易错题11 概率统计（含解析）.docx

易错点11概率统计—备战2021年高考数学一轮复习易错题【典例分析】例1（2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A.62%B.56%C.46%D.42%【答案】C【解析】【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，然后根据积事件的概率公式可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，则，，，所以所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.故选：C.【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.例2（2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表：3218468123710（1）估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？附：，0.0500.0100.00138416.63510.828【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）有.【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据可得列联表；（3）计算出，结合临界值表可得结论.【详解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的天数有天，所以该市一天中，空气中的浓度不超过75，且浓度不超过150的概率为；（2）由所给数据，可得列联表为：合计641680101020合计7426100（3）根据列联表中的数据可得，因为根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关.【易错警示】易错点1．重复计算或漏算导致错误【例1】4名考生在三道选做题中任选一道进行做答，则这三道题都有人选做的概率为()A．B．C．D．【错解一】4名考生任选一题，有种选法。每题都有人做，则先让3个人每人做一题，共种方法，再让第4个人从三个题目中选一个即种，共种选法。所求概率为，选C【错解二】4名考生任选一题，有种选法。每题都有人做，则先从4人中选3人，每人做一题，共种，再让剩下的一人从三个题种选一个即种，共种。所求概率为，无答案。【错因】第一种做法在计算的过程漏掉了“先选的三个人也可以有两个人同时做同一个题”这种情况；第二种做法在计算过程中出现了重复计算．【正解】4个人做三道题目，每题至少一人，则必有一个题目有两个人做，因此要先将四个人分成三组，然后再排列，方法数为，所求概率为．选A易错点2．超几何分布与二项分布混淆【例2】为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前组的频率之比为，其中第二组的频数为．（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设表示体重超过公斤的学生人数，求的分布列和数学期望．【错解】由题知，体重在60公斤以下的有6人，60公斤以上的有10人，随机变量服从超几何分布，所有可能的取值为0,1,2,3，则,,则【错因】（1）对随机变量的含义不清楚，不能区分超几何分布与二项分布；（2）对于何时可以样本的频率代替总体的概率不清楚；【纠错提醒】（1）超几何分布的本质是“不放回抽样”，是一种古典概型，而二项分布的随机实验是“独立重复实验”，强调每次实验的结果发生的概率相同，可认为是“有放回抽样”．本题中，“若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人”，特别强调人数很多，意味着实验可以看做是“有放回抽样”，所以是一个二项分布；（2）本题明确要求“以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据”，其意思是：用频率来代替概率，即16个人中每个人的体重超过60公斤的概率是，也是说，全省每个学生的体重超过60公斤的概率为．【正解】（1）设报考飞行员的人数为,前三小组的频率分别为，则由条件可得：，解得，又因为，故．由（1）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为，故服从二项分布，∴随机变量的分布列为：0123则，或．易错点3．几何概型与古典概型混淆【例3】心理学家分析发现视觉和空间能力与训练时间有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，进行了对比试验，经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在分钟，