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-6-习题课1运动的合成与分解应用[学习目标]1.理解小船过河模型的特点,会分析过河的最短时间和最短位移问题.2.会对“绳联物体”的速度进行分解,并能求出分速度的大小.小船渡河问题1.模型特点:小船参与的两个分运动:小船在河流中实际的运动(站在岸上的观察者看到的运动)可视为船同时参与了这样两个分运动:(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动),它的方向与船身的指向相同.(2)船随水漂流的运动(即速度等于水的流速),它的方向与河岸平行.船在流水中实际的运动(合运动)是上述两个分运动的合成.2.两类最值问题(1)渡河时间最短问题:若要渡河时间最短,由于水流速度始终沿河道方向,不能提供指向河对岸的分速度.因此,只要使船头垂直于河岸航行即可.由图可知,t短=eq\f(d,v船),此时船渡河的位移x=eq\f(d,sinθ),位移方向满足tanθ=eq\f(v船,v水).(2)渡河位移最短问题情况一:v水<v船最短的位移为河宽d,此时渡河所用时间t=eq\f(d,v船sinθ),船头与上游河岸夹角θ满足v船cosθ=v水,如图甲所示.甲情况二:v水>v船乙如图乙所示,以v水矢量的末端为圆心,以v船的大小为半径作圆,当合速度的方向与圆相切时,合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α),此时航程最短.由图可知sinα=eq\f(v船,v水),最短航程为x=eq\f(d,sinα)=eq\f(v水,v船)d.此时船头指向应与上游河岸成θ′角,且cosθ′=eq\f(v船,v水).【例1】一小船渡河,河宽d=180m,水流速度v1=2.5m/s.船在静水中的速度为v2=5m/s,求:(1)小船渡河的最短时间为多少?此时位移多大?(2)欲使船渡河的航程最短,船头应朝什么方向?用多长时间?[解析](1)欲使船在最短时间内渡河,船头应朝垂直河岸方向.当船头垂直河岸时,如图所示,合速度为倾斜方向,垂直分速度为v2=5m/s.t=eq\f(d,v⊥)=eq\f(d,v2)=eq\f(180,5)s=36sv合=eq\r(v\o\al(2,1)+v\o\al(2,2))=eq\f(5,2)eq\r(5)m/sx=v合t=90eq\r(5)m.(2)欲使船渡河的航程最短,船的合运动方向应垂直河岸.船头应朝上游与河岸成某一角度β.如图所示,由v2sinα=v1得α=30°.所以当船头朝上游与河岸成一定角度β=60°时航程最短.x=d=180mt=eq\f(d,v′⊥)=eq\f(d,v2cos30°)=eq\f(180,\f(5,2)\r(3))s=24eq\r(3)s.[答案](1)36s90eq\r(5)m(2)偏向上游与河岸成60°角24eq\r(3)s对小船渡河问题,要注意以下三点:(1)eq\x(研究小船渡河时间时)→常对某一分运动进行研究求解,一般用垂直河岸的分运动求解.(2)eq\x(分析小船速度时)→可画出小船的速度分解图进行分析.(3)eq\x(研究小船渡河位移时)→要对小船的合运动进行分析,必要时画出位移合成图.1.一艘船的船头始终正对河岸方向行驶,如图所示.已知船在静水中行驶的速度为v1,水流速度为v2,河宽为d.则下列判断正确的是()A.船渡河时间为eq\f(d,v2)B.船渡河时间为eq\f(d,\r(v\o\al(2,1)+v\o\al(2,2)))C.船渡河过程被冲到下游的距离为eq\f(v2,v1)·dD.船渡河过程被冲到下游的距离为eq\f(d,\r(v\o\al(2,1)+v\o\al(2,2)))·dC[船正对河岸运动,渡河时间最短t=eq\f(d,v1),沿河岸运动的位移s2=v2t=eq\f(v2,v1)·d,所以A、B、D选项错误,C选项正确.]“绳联物体”的速度分解问题1.“绳联物体”指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题(下面为了方便,统一说“绳”),注意以下两点:(1)物体的实际速度一定是合速度,分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向.(2)由于绳不可伸长,一根绳两端物体沿绳方向的速度分量相等.2.常见的速度分解模型【例2】如图所示,以速度v沿竖直杆匀速下滑的物体A用轻绳通过定滑轮拉物体B,当绳与水平面夹角为θ时,物体B的速度为()A.vB.eq\f(v,sinθ)C.vcosθD.vsinθD[将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向,如图所示,根据平行四边形定则得,vB=vsinθ,故D正确.]上例中,若物体B以速度v向左匀速运动,则物体A做什么运动?提示:vA′=eq\f(v,sinθ)由于θ变小,故vA′变大,