NO.9-10---静电场--泊松方程和拉普拉斯方程优秀PPT.ppt

静电场计算中的两类问题2.5泊松方程和拉普拉斯方程2.5.2泊松方程和拉普拉斯方程拉普拉斯算子在不同坐标系中的计算公式四.一维泊松方程的求解例1设有一个半径为a的球体,其中均匀充满体电荷密度为ρv(C/m3)的电荷,球内外的介电常数均为ε0,试用电位微分方程,求解球内、外的电位和电场强度。解：设球内、外的电位分别为φ1和φ2,φ1满足泊松方程,φ2满足拉普拉斯方程,由于电荷均匀分布,场球对称,所以φ1、φ2均是球坐标r的函数。;(1)分别列出球内、外的电位方程:(2)根据边界条件,求出积分常数A、B、C、D:边界条件是:;①r=a,φ1=φ2;;②r=a,③r→∞,φ2=0(以无限远处为参考点);;④r=0,(因为电荷分布球对称,球心处场强E1=0,即Er=0)。由上述条件,确定通解中的常数:例2如图所示三个区域,它们的介电常数均为ε0,区域2中的厚度为d(m),其中充满体电荷密度为ρv(C/m3)的均匀体电荷,分界面为无限大。试分别求解①、②、③区域的位函数与电场强度。［解］设①、②、③区域的电位函数分别为φ1(y)、φ2(y)、φ3(y)。(1)分别列出三个区域的电位方程。在①、③两个区域内电位满足拉普拉斯方程,而第②区域的电位满足泊松方程:将上面三个方程分别分两次可得(2)由边界条件确定常数:边界条件为:③由场分布的对称性,φ2(y)=φ2(-y);由条件②、③可得:根据公式※场量在不同媒质分界面上各自满足的关系将场量在分界面上分解成:法向normal分量(以下标n表示)-----垂直于分界面切向tangency分量(以下标t表示)-----平行于分界面两种不同媒质分界面的边界条件(1)第一媒质是电介质,第二媒质是导体;静电场中导体内部电场为零,故三.电位φ满足的边界条件电场方向在交界面上的曲折边界条件例3.11如图所示,两个无限长同轴圆柱,内、外导体半径分别为a和b,两导体间部分填充介电常数为ε的电介质,内外导体间的电压为U0。图(a)中电介质与空气分界面的半径为c;图(b)中0＜φ＜φ1间部分填充电介质。试对该二同轴线分别求出:(1)内、外导体间的电场强度E及电通量密度D;;(2)导体表面上单位长度的带电量ρl。［解］因为同轴圆柱是轴对称结构,故只有沿半径ρ方向的电场。图(a)结构中,电场垂直于介质与空气的交界面,根据两介质交界面上法向分量电通量密度相等的边界条件,可知道不同介质内D的表示式相同。而在图(b)结构中,电场平行于介质与空气交界面,由交界面上电场强度切向分量连续的边界条件,得知不同介质内E的表示式相同。a＜ρ＜c时,所以(2)图(b)结构:当φ=0时,所以